ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_3 + a_{10} + a_{12} = 50\).

Дана арифметическая прогрессия.
\(a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50\)

Используем формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\):
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 50\)
\(4a_1 + 38d = 50\)
Разделим на 2:
\(2a_1 + 19d = 25\)

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).
Для \(S_{20}\):
\(S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + (20-1)d)\)
\(S_{20} = 10(2a_1 + 19d)\)

Подставим найденное значение \(2a_1 + 19d = 25\):
\(S_{20} = 10 \cdot 25\)
\(S_{20} = 250\)

1. Выразим каждый из данных членов арифметической прогрессии через первый член \(a_1\) и разность \(d\). Общая формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Применяя эту формулу, получаем:
\(a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d\).
\(a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d\).
\(a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d\).
\(a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d\).

2. Подставим эти выражения в заданное условие \(a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50\).
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 50\).
Сгруппируем члены с \(a_1\) и члены с \(d\):
\((a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (4d + 9d + 11d + 14d) = 50\).
Это упрощается до:
\(4a_1 + 38d = 50\).

3. Упростим полученное уравнение. Разделим все члены уравнения \(4a_1 + 38d = 50\) на 2:
\(\frac{4a_1}{2} + \frac{38d}{2} = \frac{50}{2}\).
В результате получаем:
\(2a_1 + 19d = 25\).

4. Найдем сумму первых двадцати членов \(S_{20}\). Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).
Для \(n=20\) формула принимает вид:
\(S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + (20-1)d)\).
\(S_{20} = 10(2a_1 + 19d)\).

5. Подставим значение \(2a_1 + 19d\) из шага 3 в формулу для \(S_{20}\).
Мы установили, что \(2a_1 + 19d = 25\).
Тогда:
\(S_{20} = 10 \cdot 25\).
\(S_{20} = 250\).