ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(7 + 13 + 19 + \ldots + (6n + 1) = 480\), где \(n\) — натуральное число;

2) \(5 + 8 + 11 + \ldots + x = 124\), где \(x\) — натуральное число.

1)
Дана арифметическая прогрессия: \(a_1 = 7\), \(d = 6\).
Сумма \(n\) первых членов прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
\(480 = \frac{2 \cdot 7 + 6(n-1)}{2} \cdot n\)
\(480 = \frac{14 + 6n — 6}{2} \cdot n\)
\(480 = \frac{8 + 6n}{2} \cdot n\)
\(480 = (4 + 3n)n\)
\(3n^2 + 4n — 480 = 0\)
Дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 5760 = 5776\).
\(\sqrt{D} = 76\).
\(n_1 = \frac{-4 — 76}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6}\) (не является натуральным числом).
\(n_2 = \frac{-4 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12\).
Ответ: \(12\).

2)
Дана арифметическая прогрессия: \(a_1 = 5\), \(d = 3\).
Сумма \(n\) первых членов прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
\(124 = \frac{2 \cdot 5 + 3(n-1)}{2} \cdot n\)
\(124 = \frac{10 + 3n — 3}{2} \cdot n\)
\(124 = \frac{7 + 3n}{2} \cdot n\)
\(248 = (7 + 3n)n\)
\(3n^2 + 7n — 248 = 0\)
Дискриминант \(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-248) = 49 + 2976 = 3025\).
\(\sqrt{D} = 55\).
\(n_1 = \frac{-7 — 55}{2 \cdot 3} = \frac{-62}{6}\) (не является натуральным числом).
\(n_2 = \frac{-7 + 55}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8\).
Восьмой член прогрессии: \(x = a_8 = a_1 + (8-1)d = 5 + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26\).
Ответ: \(26\).

1)
Дано уравнение: \(7 + 13 + 19 + \ldots + (6n + 1) = 480\).
Это арифметическая прогрессия.
Первый член прогрессии: \(a_1 = 7\).
Разность прогрессии: \(d = 13 — 7 = 6\).
Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии задается формулой: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Подставляем известные значения в формулу суммы: \(480 = \frac{2 \cdot 7 + 6(n-1)}{2} \cdot n\).
Упрощаем выражение в скобках: \(480 = \frac{14 + 6n — 6}{2} \cdot n\).
Далее упрощаем числитель: \(480 = \frac{8 + 6n}{2} \cdot n\).
Делим числитель на 2: \(480 = (4 + 3n)n\).
Раскрываем скобки: \(480 = 4n + 3n^2\).
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(3n^2 + 4n — 480 = 0\).
Находим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\): \(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 5760 = 5776\).
Вычисляем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76\).
Находим значения \(n\) по формуле корней квадратного уравнения \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Первое значение \(n_1 = \frac{-4 — 76}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6}\). Это значение не является натуральным числом, поэтому оно не подходит в качестве решения.
Второе значение \(n_2 = \frac{-4 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12\). Это значение является натуральным числом, поэтому оно и есть искомое \(n\).
Ответ: \(12\).

2)
Дано уравнение: \(5 + 8 + 11 + \ldots + x = 124\).
Это арифметическая прогрессия.
Первый член прогрессии: \(a_1 = 5\).
Разность прогрессии: \(d = 8 — 5 = 3\).
Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии задается формулой: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Подставляем известные значения в формулу суммы: \(124 = \frac{2 \cdot 5 + 3(n-1)}{2} \cdot n\).
Упрощаем выражение в скобках: \(124 = \frac{10 + 3n — 3}{2} \cdot n\).
Далее упрощаем числитель: \(124 = \frac{7 + 3n}{2} \cdot n\).
Умножаем обе части уравнения на 2: \(248 = (7 + 3n)n\).
Раскрываем скобки: \(248 = 7n + 3n^2\).
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(3n^2 + 7n — 248 = 0\).
Находим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\): \(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-248) = 49 + 2976 = 3025\).
Вычисляем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55\).
Находим значения \(n\) по формуле корней квадратного уравнения \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Первое значение \(n_1 = \frac{-7 — 55}{2 \cdot 3} = \frac{-62}{6}\). Это значение не является натуральным числом, поэтому оно не подходит в качестве решения.
Второе значение \(n_2 = \frac{-7 + 55}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8\). Это значение является натуральным числом, поэтому в прогрессии 8 членов.
Теперь нам нужно найти значение \(x\), которое является последним членом прогрессии, то есть \(a_8\).
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставляем значения для нахождения \(a_8\): \(x = a_8 = 5 + (8-1) \cdot 3 = 5 + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26\).
Ответ: \(26\).