ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(11 + 19 + 27 + \ldots + (8n + 3) = 470\), где \(n\) — натуральное число;

2) \(1 + 5 + 9 + \ldots + x = 630\), где \(x\) — натуральное число.

1)
Дана арифметическая прогрессия: \(a_1 = 11\), \(a_2 = 19\).
Разность прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = 19 — 11 = 8\).
Сумма \(n\) первых членов: \(S_n = 470\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Подставляем значения: \(470 = \frac{2 \cdot 11 + 8(n-1)}{2} \cdot n\).
Упрощаем: \(470 = \frac{22 + 8n — 8}{2} \cdot n = \frac{14 + 8n}{2} \cdot n = (7 + 4n)n\).
Раскрываем скобки: \(470 = 7n + 4n^2\).
Переносим все в одну сторону: \(4n^2 + 7n — 470 = 0\).
Находим дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-470) = 49 + 7520 = 7569\).
Корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = 87\).
Находим \(n\): \(n_1 = \frac{-7 — 87}{2 \cdot 4} = \frac{-94}{8} = -11.75\).
\(n_2 = \frac{-7 + 87}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10\).
Так как \(n\) должно быть натуральным числом, \(n = 10\).

2)
Дана арифметическая прогрессия: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 5\).
Разность прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = 5 — 1 = 4\).
Сумма \(n\) первых членов: \(S_n = 630\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Подставляем значения: \(630 = \frac{2 \cdot 1 + 4(n-1)}{2} \cdot n\).
Упрощаем: \(630 = \frac{2 + 4n — 4}{2} \cdot n = \frac{4n — 2}{2} \cdot n = (2n — 1)n\).
Раскрываем скобки: \(630 = 2n^2 — n\).
Переносим все в одну сторону: \(2n^2 — n — 630 = 0\).
Находим дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-630) = 1 + 5040 = 5041\).
Корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = 71\).
Находим \(n\): \(n_1 = \frac{-(-1) — 71}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 71}{4} = \frac{-70}{4} = -17.5\).
\(n_2 = \frac{-(-1) + 71}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 71}{4} = \frac{72}{4} = 18\).
Так как \(n\) должно быть натуральным числом, \(n = 18\).
Находим \(x\), который является \(18\)-м членом прогрессии: \(x = a_{18} = a_1 + (18-1)d\).
Подставляем значения: \(x = 1 + (17)4 = 1 + 68 = 69\).

1)
Для начала определим, что данная последовательность \(11 + 19 + 27 + \ldots + (8n + 3)\) является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии \(a_1 = 11\). Чтобы найти разность прогрессии \(d\), вычтем первый член из второго: \(d = 19 — 11 = 8\). Сумма \(n\) первых членов прогрессии задана как \(S_n = 470\).

Используем формулу для суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Подставим известные значения в эту формулу: \(470 = \frac{2 \cdot 11 + 8(n-1)}{2} \cdot n\).

Теперь упростим это уравнение. Сначала вычислим \(2 \cdot 11 = 22\). Затем раскроем скобки \(8(n-1)\), что даст \(8n — 8\). Таким образом, выражение в числителе становится \(22 + 8n — 8 = 14 + 8n\). Уравнение принимает вид \(470 = \frac{14 + 8n}{2} \cdot n\). Разделим числитель на \(2\): \(\frac{14 + 8n}{2} = 7 + 4n\). В результате получаем: \(470 = (7 + 4n)n\).

Раскроем скобки в правой части уравнения: \(470 = 7n + 4n^2\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида \(an^2 + bn + c = 0\): \(4n^2 + 7n — 470 = 0\).

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант \(D\), используя формулу \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае \(a = 4\), \(b = 7\), \(c = -470\). Подставим эти значения: \(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-470)\). Вычислим: \(D = 49 — 16 \cdot (-470) = 49 + 7520 = 7569\).

Найдем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87\).

Теперь найдем возможные значения для \(n\) с помощью формулы \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(n_1 = \frac{-7 — 87}{2 \cdot 4} = \frac{-94}{8} = -11.75\).
\(n_2 = \frac{-7 + 87}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10\).

Поскольку \(n\) представляет собой количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, единственно верное значение \(n = 10\).

2)
Определим, что данная последовательность \(1 + 5 + 9 + \ldots + x\) является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии \(a_1 = 1\). Чтобы найти разность прогрессии \(d\), вычтем первый член из второго: \(d = 5 — 1 = 4\). Сумма \(n\) первых членов прогрессии задана как \(S_n = 630\). Последний член прогрессии обозначен как \(x\).

Для начала найдем количество членов \(n\) в этой прогрессии, используя формулу для суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Подставим известные значения в эту формулу: \(630 = \frac{2 \cdot 1 + 4(n-1)}{2} \cdot n\).

Упростим это уравнение. Сначала вычислим \(2 \cdot 1 = 2\). Затем раскроем скобки \(4(n-1)\), что даст \(4n — 4\). Таким образом, выражение в числителе становится \(2 + 4n — 4 = 4n — 2\). Уравнение принимает вид \(630 = \frac{4n — 2}{2} \cdot n\). Разделим числитель на \(2\): \(\frac{4n — 2}{2} = 2n — 1\). В результате получаем: \(630 = (2n — 1)n\).

Раскроем скобки в правой части уравнения: \(630 = 2n^2 — n\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида \(an^2 + bn + c = 0\): \(2n^2 — n — 630 = 0\).

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант \(D\), используя формулу \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -630\). Подставим эти значения: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-630)\). Вычислим: \(D = 1 — 8 \cdot (-630) = 1 + 5040 = 5041\).

Найдем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{5041} = 71\).

Теперь найдем возможные значения для \(n\) с помощью формулы \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(n_1 = \frac{-(-1) — 71}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 71}{4} = \frac{-70}{4} = -17.5\).
\(n_2 = \frac{-(-1) + 71}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 71}{4} = \frac{72}{4} = 18\).

Поскольку \(n\) представляет собой количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, единственно верное значение \(n = 18\).

Теперь, когда мы знаем, что \(n = 18\), мы можем найти значение \(x\), которое является \(18\)-м членом этой арифметической прогрессии. Используем формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Подставим значения \(a_1 = 1\), \(n = 18\) и \(d = 4\):
\(x = a_{18} = 1 + (18-1) \cdot 4\).
Вычислим: \(x = 1 + 17 \cdot 4 = 1 + 68 = 69\).