ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое \(n\) первых членов при любом \(n\) равно их количеству.

Дана арифметическая прогрессия: \(\frac{S_n}{n} = n\).
Из этого равенства следует: \(S_n = n^2\).

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Приравниваем: \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n^2\).
Сокращаем на \(n\): \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n\).
Умножаем на 2: \(2a_1 + d(n-1) = 2n\).
Переносим \(2a_1\): \(d(n-1) = 2n — 2a_1\).
Выносим 2 за скобки: \(d(n-1) = 2(n — a_1)\).

Если \(n = 2\), то подставляем в \(d(n-1) = 2(n — a_1)\):
\(d(2-1) = 2(2 — a_1)\).
\(d = 4 — 2a_1\).

Если \(n = 3\), то подставляем в \(d(n-1) = 2(n — a_1)\):
\(d(3-1) = 2(3 — a_1)\).
\(2d = 2(3 — a_1)\).
Делим на 2: \(d = 3 — a_1\).

У нас получилась система уравнений:
\(\begin{cases} d = 4 — 2a_1 \\ d = 3 — a_1 \end{cases}\)

Приравниваем правые части:
\(4 — 2a_1 = 3 — a_1\).
Переносим \(a_1\) в одну сторону, числа в другую:
\(4 — 3 = 2a_1 — a_1\).
\(1 = a_1\).

Подставляем \(a_1 = 1\) в уравнение \(d = 3 — a_1\):
\(d = 3 — 1\).
\(d = 2\).

Ответ: \(a_1 = 1\), \(d = 2\).

1. Дано условие, что среднее арифметическое \(n\) первых членов арифметической прогрессии равно \(n\). Это можно записать как \(\frac{S_n}{n} = n\). Из этого равенства следует, что сумма \(n\) первых членов \(S_n\) равна \(n \cdot n\), то есть \(S_n = n^2\).

2. Используем общую формулу для суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Приравниваем эту формулу к выражению для \(S_n\), полученному из условия задачи: \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n^2\).

3. Разделим обе части уравнения \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n^2\) на \(n\) (поскольку \(n\) является количеством членов, \(n \neq 0\)): \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n\). Затем умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \(2a_1 + d(n-1) = 2n\). Перенесем \(2a_1\) в правую часть: \(d(n-1) = 2n — 2a_1\). Вынесем общий множитель 2 в правой части: \(d(n-1) = 2(n — a_1)\).

4. Подставим \(n = 2\) в полученное уравнение \(d(n-1) = 2(n — a_1)\): \(d(2-1) = 2(2 — a_1)\). Упрощаем левую часть: \(d \cdot 1 = d\). Таким образом, получаем первое уравнение: \(d = 2(2 — a_1)\), или \(d = 4 — 2a_1\).

5. Подставим \(n = 3\) в то же уравнение \(d(n-1) = 2(n — a_1)\): \(d(3-1) = 2(3 — a_1)\). Упрощаем левую часть: \(d \cdot 2 = 2d\). Таким образом, получаем: \(2d = 2(3 — a_1)\). Разделим обе части на 2: \(d = 3 — a_1\). Это наше второе уравнение.

6. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \(a_1\) и \(d\):
\(\begin{cases} d = 4 — 2a_1 \\ d = 3 — a_1 \end{cases}\)
Поскольку обе левые части равны \(d\), мы можем приравнять правые части: \(4 — 2a_1 = 3 — a_1\).

7. Решим полученное уравнение относительно \(a_1\). Прибавим \(2a_1\) к обеим частям: \(4 = 3 — a_1 + 2a_1\). Упрощаем правую часть: \(4 = 3 + a_1\). Вычтем 3 из обеих частей: \(4 — 3 = a_1\). Таким образом, находим \(a_1 = 1\).

8. Подставим найденное значение \(a_1 = 1\) в одно из уравнений для \(d\), например, во второе уравнение \(d = 3 — a_1\): \(d = 3 — 1\). Выполняем вычитание: \(d = 2\).

9. Таким образом, первый член арифметической прогрессии \(a_1 = 1\), а ее разность \(d = 2\).