ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Задача Гипсикла Александрийского.) Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия: \(a_1; a_2; a_3; a_4; …; a_{2n}\).

1) Сумма первой половины членов: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n\).

2) Сумма всех членов: \(S_{2n} = \frac{2a_1 + d(2n — 1)}{2} \cdot 2n = n(2a_1 + d(2n — 1))\).

3) Сумма второй половины членов: \(S_{n-2n} = S_{2n} — S_n\).

4) Разность второй и первой половины: \(D = S_{n-2n} — S_n = S_{2n} — 2S_n\).
\(D = n(2a_1 + d(2n — 1)) — n(2a_1 + d(n — 1))\).
\(D = n(2a_1 + 2dn — d — 2a_1 — dn + d)\).
\(D = n(dn)\).
\(D = dn^2\).

Что и требовалось доказать.

Пусть дана арифметическая прогрессия с чётным количеством членов \(2n\): \(a_1, a_2, …, a_n, a_{n+1}, …, a_{2n}\) с общим членом \(a_k = a_1 + d(k-1)\) и разностью \(d\).

1. Сумма первой половины членов (\(S_n\)):
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + d(n-1))\).

2. Сумма всех членов (\(S_{2n}\)):
Сумма всех \(2n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\(S_{2n} = \frac{2n}{2}(2a_1 + d(2n-1)) = n(2a_1 + d(2n-1))\).

3. Сумма второй половины членов (\(S’_{n}\)):
Сумма второй половины членов (с \(a_{n+1}\) по \(a_{2n}\)) может быть найдена как разность между суммой всех членов и суммой первой половины членов:
\(S’_{n} = S_{2n} — S_n\).

4. Разность между суммой второй половины и суммой первой половины (\(D\)):
Обозначим эту разность как \(D\).
\(D = S’_{n} — S_n\).
Подставим выражение для \(S’_{n}\):
\(D = (S_{2n} — S_n) — S_n = S_{2n} — 2S_n\).

5. Подставим выражения для \(S_{2n}\) и \(S_n\):
\(D = n(2a_1 + d(2n-1)) — 2 \cdot \frac{n}{2}(2a_1 + d(n-1))\).
\(D = n(2a_1 + d(2n-1)) — n(2a_1 + d(n-1))\).

6. Вынесем общий множитель \(n\):
\(D = n[(2a_1 + d(2n-1)) — (2a_1 + d(n-1))]\).

7. Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
\(D = n[2a_1 + 2dn — d — 2a_1 — dn + d]\).

8. Упростим выражение внутри квадратных скобок:
\(D = n[2dn — dn — d + d]\).
\(D = n[dn]\).
\(D = dn^2\).

Таким образом, разность между суммой второй половины членов и суммой первой половины членов равна \(dn^2\). Поскольку \(d\) является целым числом (так как арифметическая прогрессия состоит из целых чисел) и \(n^2\) является квадратом половины количества членов, то \(dn^2\) кратно \(n^2\). Что и требовалось доказать.