ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5.

Сумма всех двузначных чисел:
Количество двузначных чисел от 10 до 99 равно \(99 — 10 + 1 = 90\).
Их сумма равна \(\frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905\).

Сумма двузначных чисел, делящихся на 3:
Первое такое число 12, последнее 99.
Количество таких чисел равно \(\frac{99 — 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30\).
Их сумма равна \(\frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665\).

Сумма двузначных чисел, делящихся на 5:
Первое такое число 10, последнее 95.
Количество таких чисел равно \(\frac{95 — 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18\).
Их сумма равна \(\frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945\).

Сумма двузначных чисел, делящихся на 15 (и на 3, и на 5):
Это числа 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Их сумма равна \(15 + 30 + 45 + 60 + 75 + 90 = 315\).

Сумма двузначных чисел, делящихся на 3 или на 5:
По принципу включения-исключения, эта сумма равна \(1665 + 945 — 315 = 2610 — 315 = 2295\).

Сумма двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5:
Эта сумма равна (Сумма всех двузначных чисел) — (Сумма двузначных чисел, делящихся на 3 или на 5).
Искомая сумма равна \(4905 — 2295 = 2610\).

1. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99. Это арифметическая прогрессия. Количество членов в этой прогрессии можно найти по формуле: \(n = \text{последнее число} — \text{первое число} + 1\). Таким образом, \(n = 99 — 10 + 1 = 90\). Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \(S = \frac{(\text{первое число} + \text{последнее число}) \cdot n}{2}\). Подставляя значения, получаем \(S_{\text{всех}} = \frac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = \frac{109 \cdot 90}{2} = 109 \cdot 45 = 4905\).

2. Далее найдем сумму всех двузначных чисел, которые делятся нацело на 3. Первое двузначное число, делящееся на 3, это 12. Последнее двузначное число, делящееся на 3, это 99. Количество таких чисел можно найти по формуле: \(n_3 = \frac{\text{последнее число} — \text{первое число}}{\text{шаг}} + 1\). В данном случае, шаг равен 3. Значит, \(n_3 = \frac{99 — 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30\). Сумма этих чисел будет \(S_3 = \frac{(12 + 99) \cdot 30}{2} = \frac{111 \cdot 30}{2} = 111 \cdot 15 = 1665\).

3. Теперь найдем сумму всех двузначных чисел, которые делятся нацело на 5. Первое двузначное число, делящееся на 5, это 10. Последнее двузначное число, делящееся на 5, это 95. Количество таких чисел: \(n_5 = \frac{95 — 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18\). Сумма этих чисел будет \(S_5 = \frac{(10 + 95) \cdot 18}{2} = \frac{105 \cdot 18}{2} = 105 \cdot 9 = 945\).

4. Затем найдем сумму всех двузначных чисел, которые делятся нацело как на 3, так и на 5. Это означает, что числа должны делиться на их наименьшее общее кратное, которое равно 15. Двузначные числа, делящиеся на 15, это 15, 30, 45, 60, 75, 90. Сумма этих чисел: \(S_{15} = 15 + 30 + 45 + 60 + 75 + 90 = 315\).

5. Используем принцип включения-исключения, чтобы найти сумму двузначных чисел, которые делятся нацело на 3 ИЛИ на 5. Формула для этого принципа: \(S_{\text{3 или 5}} = S_3 + S_5 — S_{15}\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{\text{3 или 5}} = 1665 + 945 — 315 = 2610 — 315 = 2295\).

6. Наконец, чтобы найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, мы вычтем сумму чисел, делящихся на 3 или 5 (найденную в шаге 5), из общей суммы всех двузначных чисел (найденной в шаге 1). Искомая сумма равна \(S_{\text{результат}} = S_{\text{всех}} — S_{\text{3 или 5}}\). Таким образом, \(S_{\text{результат}} = 4905 — 2295 = 2610\).