ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии \(S_m = S_n\), \(m \neq n\). Найдите \(S_{m+n}\).

Дана арифметическая прогрессия. Из условия \(S_m = S_n\) следует:
\(\frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\)
Умножим обе части на 2:
\((2a_1 + d(m-1))m = (2a_1 + d(n-1))n\)
Раскроем скобки:
\(2a_1m + d(m^2 — m) = 2a_1n + d(n^2 — n)\)
Перенесем члены:
\(2a_1m — 2a_1n = d(n^2 — n) — d(m^2 — m)\)
\(2a_1(m-n) = d(n^2 — n — m^2 + m)\)
\(2a_1(m-n) = d((n^2 — m^2) — (n — m))\)
Используем формулу разности квадратов \(n^2 — m^2 = (n-m)(n+m)\):
\(2a_1(m-n) = d((n-m)(n+m) — (n — m))\)
Вынесем общий множитель \((n-m)\):
\(2a_1(m-n) = d(n-m)(n+m — 1)\)
Так как \(m \neq n\), то \(m-n \neq 0\). Заметим, что \(n-m = -(m-n)\).
\(2a_1(m-n) = -d(m-n)(n+m — 1)\)
Разделим обе части на \((m-n)\):
\(2a_1 = -d(n+m-1)\)
Теперь найдем сумму первых \((m+n)\) членов:
\(S_{m+n} = \frac{2a_1 + d((m+n)-1)}{2} \cdot (m+n)\)
Подставим выражение для \(2a_1\):
\(S_{m+n} = \frac{-d(n+m-1) + d(m+n-1)}{2} \cdot (m+n)\)
Числитель равен нулю:
\(S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n)\)
\(S_{m+n} = 0\)

Дана арифметическая прогрессия, для которой сумма первых \(m\) членов равна сумме первых \(n\) членов, то есть \(S_m = S_n\), при условии, что \(m \neq n\). Необходимо найти сумму первых \((m+n)\) членов, то есть \(S_{m+n}\).

1. Используем формулу для суммы первых \(k\) членов арифметической прогрессии: \(S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2} \cdot k\), где \(a_1\) — первый член прогрессии, а \(d\) — общая разность.

2. Подставляем эту формулу для \(S_m\) и \(S_n\) в данное условие \(S_m = S_n\):
\(\frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\)

3. Для упрощения уравнения умножим обе части на 2:
\((2a_1 + d(m-1))m = (2a_1 + d(n-1))n\)

4. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
\(2a_1m + dm(m-1) = 2a_1n + dn(n-1)\)
\(2a_1m + dm^2 — dm = 2a_1n + dn^2 — dn\)

5. Перенесем все члены, содержащие \(2a_1\), в левую часть, а члены, содержащие \(d\), в правую часть уравнения:
\(2a_1m — 2a_1n = dn^2 — dn — (dm^2 — dm)\)
\(2a_1m — 2a_1n = dn^2 — dn — dm^2 + dm\)

6. Вынесем общий множитель \(2a_1\) из левой части и общий множитель \(d\) из правой части:
\(2a_1(m-n) = d(n^2 — n — m^2 + m)\)

7. Перегруппируем члены в скобках в правой части, чтобы использовать формулу разности квадратов:
\(2a_1(m-n) = d((n^2 — m^2) — (n — m))\)

8. Применим формулу разности квадратов \(n^2 — m^2 = (n-m)(n+m)\):
\(2a_1(m-n) = d((n-m)(n+m) — (n — m))\)

9. Вынесем общий множитель \((n-m)\) из скобок в правой части:
\(2a_1(m-n) = d(n-m)(n+m — 1)\)

10. Поскольку дано, что \(m \neq n\), то \((m-n) \neq 0\). Мы можем разделить обе части уравнения на \((m-n)\). Также заметим, что \((n-m) = -(m-n)\):
\(2a_1(m-n) = -d(m-n)(n+m — 1)\)
Разделив на \((m-n)\), получаем:
\(2a_1 = -d(n+m-1)\)
Или, что то же самое:
\(2a_1 = -d(m+n-1)\)

11. Теперь нам нужно найти сумму первых \((m+n)\) членов, то есть \(S_{m+n}\). Используем ту же формулу для суммы:
\(S_{m+n} = \frac{2a_1 + d((m+n)-1)}{2} \cdot (m+n)\)

12. Подставим найденное выражение для \(2a_1\) из пункта 10 в формулу для \(S_{m+n}\):
\(S_{m+n} = \frac{-d(m+n-1) + d(m+n-1)}{2} \cdot (m+n)\)

13. Заметим, что числитель дроби равен нулю, так как \(-d(m+n-1)\) и \(+d(m+n-1)\) взаимно уничтожаются:
\(S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n)\)

14. Умножение на ноль дает ноль:
\(S_{m+n} = 0 \cdot (m+n)\)
\(S_{m+n} = 0\)