ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии \(S_m = m\), \(S_n = n\), \(m \neq n\). Найдите \(S_{\frac{m+n}{2}}\).

Дана арифметическая прогрессия, для которой \(S_n = m\) и \(S_m = n\), где \(m \neq n\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии \(S_k = \frac{k(2a_1 + (k-1)d)}{2}\).
Из условий получаем:
\(S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = m\)
\(S_m = \frac{m(2a_1 + (m-1)d)}{2} = n\)
Вычтем второе уравнение из первого:
\(\frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} — \frac{m(2a_1 + (m-1)d)}{2} = m — n\)
Умножим обе части на 2:
\(n(2a_1 + (n-1)d) — m(2a_1 + (m-1)d) = 2(m — n)\)
\(2a_1n + dn(n-1) — 2a_1m — dm(m-1) = 2(m — n)\)
\(2a_1(n-m) + d(n^2 — n — m^2 + m) = 2(m — n)\)
\(2a_1(n-m) + d((n^2 — m^2) — (n — m)) = 2(m — n)\)
\(2a_1(n-m) + d((n-m)(n+m) — (n-m)) = 2(m — n)\)
\(2a_1(n-m) + d(n-m)(n+m-1) = 2(m — n)\)
Так как \(m \neq n\), то \(n-m \neq 0\). Разделим обе части на \((n-m)\), учитывая, что \(2(m-n) = -2(n-m)\):
\(2a_1 + d(n+m-1) = -2\)
Теперь найдем \(S_{m+n}\):
\(S_{m+n} = \frac{(m+n)(2a_1 + (m+n-1)d)}{2}\)
Подставим найденное значение \(2a_1 + d(m+n-1) = -2\):
\(S_{m+n} = \frac{(m+n)(-2)}{2}\)
\(S_{m+n} = -(m+n)\)

Дана арифметическая прогрессия. Известно, что сумма первых \(n\) членов этой прогрессии равна \(m\), то есть \(S_n = m\). Также известно, что сумма первых \(m\) членов этой же прогрессии равна \(n\), то есть \(S_m = n\). Дополнительно указано, что \(m \neq n\). Требуется найти сумму первых \(m+n\) членов этой арифметической прогрессии, то есть \(S_{m+n}\).

1. Для решения задачи воспользуемся общей формулой для суммы первых \(k\) членов арифметической прогрессии, которая выражается как \(S_k = \frac{k}{2}(2a_1 + (k-1)d)\), где \(a_1\) обозначает первый член прогрессии, а \(d\) — разность прогрессии.

2. Применим данную формулу к условиям задачи. Для \(S_n = m\) получаем уравнение:
\(\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = m\)
Умножим обе части этого уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\(n(2a_1 + (n-1)d) = 2m\) (Уравнение 1)

3. Аналогично, для \(S_m = n\) получаем второе уравнение:
\(\frac{m}{2}(2a_1 + (m-1)d) = n\)
Умножим обе части этого уравнения на 2:
\(m(2a_1 + (m-1)d) = 2n\) (Уравнение 2)

4. Для того чтобы найти связь между \(a_1\) и \(d\), вычтем Уравнение 2 из Уравнения 1. Это позволит нам упростить выражение, поскольку \(2a_1\) является общим элементом:
\(n(2a_1 + (n-1)d) — m(2a_1 + (m-1)d) = 2m — 2n\)
Раскроем скобки в левой части уравнения:
\(2a_1n + n(n-1)d — 2a_1m — m(m-1)d = 2(m — n)\)
Сгруппируем члены, содержащие \(2a_1\), и члены, содержащие \(d\):
\(2a_1(n — m) + d(n(n-1) — m(m-1)) = 2(m — n)\)
Раскроем скобки внутри второго члена с \(d\):
\(2a_1(n — m) + d(n^2 — n — m^2 + m) = 2(m — n)\)

5. Далее, преобразуем выражение в скобках при \(d\). Группируем члены \(n^2 — m^2\) и \(-n + m\):
\(2a_1(n — m) + d((n^2 — m^2) — (n — m)) = 2(m — n)\)
Используем формулу разности квадратов \(n^2 — m^2 = (n-m)(n+m)\):
\(2a_1(n — m) + d((n-m)(n+m) — (n — m)) = 2(m — n)\)
Вынесем общий множитель \((n-m)\) из выражения в скобках при \(d\):
\(2a_1(n — m) + d(n — m)(n+m — 1) = 2(m — n)\)

6. Так как по условию \(m \neq n\), то \((n-m) \neq 0\). Мы можем разделить обе части уравнения на \((n-m)\). Обратите внимание, что \(2(m-n)\) можно записать как \(-2(n-m)\):
\(\frac{2a_1(n — m)}{n — m} + \frac{d(n — m)(n+m — 1)}{n — m} = \frac{-2(n — m)}{n — m}\)
После сокращения получаем ключевое соотношение:
\(2a_1 + d(n+m — 1) = -2\)

7. Теперь нам необходимо найти сумму первых \(m+n\) членов, то есть \(S_{m+n}\). Используем общую формулу суммы:
\(S_{m+n} = \frac{m+n}{2}(2a_1 + (m+n-1)d)\)
Из шага 6 мы уже знаем, что выражение \(2a_1 + (n+m-1)d\) равно \(-2\). Подставим это значение в формулу для \(S_{m+n}\):
\(S_{m+n} = \frac{m+n}{2}(-2)\)
Сократим 2 в числителе и знаменателе:
\(S_{m+n} = (m+n)(-1)\)
\(S_{m+n} = -(m+n)\)

Таким образом, сумма первых \(m+n\) членов арифметической прогрессии равна \( -(m+n) \).