ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В конечной арифметической прогрессии нечётное количество членов. Сумма членов, стоящих на местах с чётными номерами, равна сумме членов, стоящих на местах с нечётными номерами. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n+1}\).
Сумма членов, стоящих на нечётных местах, \(S_{неч}\), состоит из членов \(a_1, a_3, \dots, a_{2n+1}\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(b_1 = a_1\), разностью \(d_b = 2d\) и количеством членов \(n_b = n+1\).
Тогда \(S_{неч} = \frac{n+1}{2}(2a_1 + (n+1-1)2d) = \frac{n+1}{2}(2a_1 + 2nd) = (n+1)(a_1 + nd)\).

Сумма членов, стоящих на чётных местах, \(S_{чет}\), состоит из членов \(a_2, a_4, \dots, a_{2n}\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(c_1 = a_2 = a_1 + d\), разностью \(d_c = 2d\) и количеством членов \(n_c = n\).
Тогда \(S_{чет} = \frac{n}{2}(2(a_1+d) + (n-1)2d) = \frac{n}{2}(2a_1 + 2d + 2nd — 2d) = \frac{n}{2}(2a_1 + 2nd) = n(a_1 + nd)\).

По условию \(S_{неч} = S_{чет}\), значит \((n+1)(a_1 + nd) = n(a_1 + nd)\).
Перенесём всё в одну сторону: \((n+1)(a_1 + nd) — n(a_1 + nd) = 0\).
Вынесем общий множитель \((a_1 + nd)\): \((n+1-n)(a_1 + nd) = 0\).
Отсюда \(1 \cdot (a_1 + nd) = 0\), то есть \(a_1 + nd = 0\).

Сумма всех членов прогрессии \(S_{2n+1}\) находится по формуле \(S_N = \frac{N}{2}(2a_1 + (N-1)d)\).
Здесь \(N = 2n+1\).
Значит \(S_{2n+1} = \frac{2n+1}{2}(2a_1 + (2n+1-1)d) = \frac{2n+1}{2}(2a_1 + 2nd) = (2n+1)(a_1 + nd)\).
Так как мы выяснили, что \(a_1 + nd = 0\), то \(S_{2n+1} = (2n+1) \cdot 0 = 0\).

0

1) Сумма членов, стоящих на нечётных местах, \(S_{неч}\):
Члены, стоящие на нечётных местах, образуют новую арифметическую прогрессию: \(a_1, a_3, a_5, \dots, a_{2n+1}\).
Первый член этой новой прогрессии равен \(b_1 = a_1\).
Разность этой новой прогрессии равна \(d_b = a_3 — a_1 = (a_1 + 2d) — a_1 = 2d\), где \(d\) — разность исходной арифметической прогрессии.
Чтобы найти количество членов этой новой прогрессии, рассмотрим индексы: \(1, 3, 5, \dots, 2n+1\). Если индекс равен \(2k-1\), то для \(k=1\) получаем \(1\), для \(k=2\) получаем \(3\), и так далее. Чтобы получить \(2n+1\), нужно чтобы \(2k-1 = 2n+1\), откуда \(2k = 2n+2\), и \(k = n+1\). Таким образом, количество членов равно \(n+1\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_k = \frac{k}{2}(2a_1 + (k-1)d)\).
Подставляем значения для нашей прогрессии нечётных членов:
\(S_{неч} = \frac{n+1}{2}(2b_1 + (n+1-1)d_b)\)
\(S_{неч} = \frac{n+1}{2}(2a_1 + n(2d))\)
\(S_{неч} = \frac{n+1}{2}(2a_1 + 2nd)\)
Выносим 2 за скобки:
\(S_{неч} = \frac{n+1}{2} \cdot 2(a_1 + nd)\)
Сокращаем 2:
\(S_{неч} = (n+1)(a_1 + nd)\).

2) Сумма членов, стоящих на чётных местах, \(S_{чет}\):
Члены, стоящие на чётных местах, образуют новую арифметическую прогрессию: \(a_2, a_4, a_6, \dots, a_{2n}\).
Первый член этой новой прогрессии равен \(c_1 = a_2 = a_1 + d\).
Разность этой новой прогрессии равна \(d_c = a_4 — a_2 = (a_1 + 3d) — (a_1 + d) = 2d\).
Чтобы найти количество членов этой новой прогрессии, рассмотрим индексы: \(2, 4, 6, \dots, 2n\). Если индекс равен \(2k\), то для \(k=1\) получаем \(2\), для \(k=2\) получаем \(4\), и так далее. Чтобы получить \(2n\), нужно чтобы \(2k = 2n\), откуда \(k = n\). Таким образом, количество членов равно \(n\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_k = \frac{k}{2}(2a_1 + (k-1)d)\).
Подставляем значения для нашей прогрессии чётных членов:
\(S_{чет} = \frac{n}{2}(2c_1 + (n-1)d_c)\)
\(S_{чет} = \frac{n}{2}(2(a_1+d) + (n-1)2d)\)
Раскрываем скобки:
\(S_{чет} = \frac{n}{2}(2a_1 + 2d + 2nd — 2d)\)
Приводим подобные члены:
\(S_{чет} = \frac{n}{2}(2a_1 + 2nd)\)
Выносим 2 за скобки:
\(S_{чет} = \frac{n}{2} \cdot 2(a_1 + nd)\)
Сокращаем 2:
\(S_{чет} = n(a_1 + nd)\).

3) Использование условия \(S_{неч} = S_{чет}\):
По условию задачи, сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна сумме членов, стоящих на чётных местах.
Подставляем выражения, полученные в пунктах 1 и 2:
\((n+1)(a_1 + nd) = n(a_1 + nd)\)
Перенесём все члены в левую часть уравнения:
\((n+1)(a_1 + nd) — n(a_1 + nd) = 0\)
Вынесем общий множитель \((a_1 + nd)\) за скобки:
\((n+1 — n)(a_1 + nd) = 0\)
Упрощаем выражение в первой скобке:
\(1 \cdot (a_1 + nd) = 0\)
Следовательно, мы получаем важное равенство:
\(a_1 + nd = 0\).

4) Нахождение суммы всех членов прогрессии:
Исходная арифметическая прогрессия имеет \(2n+1\) членов: \(a_1, a_2, \dots, a_{2n+1}\).
Общее количество членов равно \(N = 2n+1\).
Используем формулу суммы арифметической прогрессии для всех членов: \(S_N = \frac{N}{2}(2a_1 + (N-1)d)\).
Подставляем \(N = 2n+1\):
\(S_{2n+1} = \frac{2n+1}{2}(2a_1 + (2n+1-1)d)\)
\(S_{2n+1} = \frac{2n+1}{2}(2a_1 + 2nd)\)
Выносим 2 за скобки:
\(S_{2n+1} = \frac{2n+1}{2} \cdot 2(a_1 + nd)\)
Сокращаем 2:
\(S_{2n+1} = (2n+1)(a_1 + nd)\)
Из пункта 3 мы знаем, что \(a_1 + nd = 0\). Подставляем это значение в выражение для \(S_{2n+1}\):
\(S_{2n+1} = (2n+1) \cdot 0\)
\(S_{2n+1} = 0\).

0