ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В баскетбольном турнире, проходившем в один круг, участвовали \(n\) команд. После окончания турнира оказалось, что очки, набранные командами, образуют нестационарную арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место, если за победу в каждой встрече команда получала 2 очка, за поражение очки не начислялись, а игр, сыгранных вничью, в баскетболе нет?

Общее количество встреч в турнире: \(N = \frac{n(n-1)}{2}\).
В каждой игре набрано 2 очка, значит, общая сумма очков: \(S_n = 2N = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)\).
Сумма арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
Приравниваем выражения для \(S_n\): \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n(n-1)\).
Делим на \(n\): \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n-1\).
Умножаем на 2: \(2a_1 + d(n-1) = 2(n-1)\).
Выражаем \(2a_1\): \(2a_1 = 2(n-1) — d(n-1) = (2-d)(n-1)\).
По условию \(d > 0\). Очки начисляются по 2 за победу, поэтому разность \(d\) должна быть целым числом, кратным 2. Следовательно, \(d \ge 2\).
Так как \(a_1 \ge 0\) (очки не могут быть отрицательными) и \(n-1 > 0\) (поскольку \(n \ge 2\)), то \((2-d)\) должно быть \(\ge 0\).
Из этого следует \(2-d \ge 0 \Rightarrow d \le 2\).
Совмещая \(d \ge 2\) и \(d \le 2\), получаем \(d=2\).
Подставляем \(d=2\) в уравнение для \(2a_1\): \(2a_1 = (2-2)(n-1) = 0 \cdot (n-1) = 0\).
Значит, \(2a_1 = 0\), откуда \(a_1 = 0\).

1. Определим общее количество игр, сыгранных в турнире. Поскольку турнир проводится в один круг, каждая из \(n\) команд играет с каждой другой командой ровно один раз. Количество таких пар команд можно найти с помощью формулы для сочетаний из \(n\) по 2, которая выглядит как \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\). Таким образом, общее число игр в турнире равно \(N = \frac{n(n-1)}{2}\).

2. Вычислим общую сумму очков, набранных всеми командами в турнире. В каждой игре разыгрывается 2 очка: победитель получает 2 очка, а проигравший 0 очков. Следовательно, за каждую игру в сумме начисляется 2 очка. Общая сумма очков, набранных всеми командами, равна удвоенному количеству игр: \(S_{общая} = 2 \cdot N\). Подставив значение \(N\) из предыдущего шага, получаем \(S_{общая} = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)\).

3. Очки, набранные командами, образуют арифметическую прогрессию. Обозначим количество очков команды, занявшей последнее место, как \(a_1\), а разность прогрессии как \(d\). Сумма \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Поскольку эта сумма должна быть равна общей сумме очков, набранных всеми командами, мы можем приравнять два выражения для суммы: \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = n(n-1)\).

4. Упростим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на \(n\) (поскольку \(n\) — количество команд, \(n \ne 0\)): \(\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n-1\). Затем умножим обе части на 2: \(2a_1 + d(n-1) = 2(n-1)\). Теперь выразим \(2a_1\): \(2a_1 = 2(n-1) — d(n-1)\). Вынесем общий множитель \((n-1)\) за скобки: \(2a_1 = (2-d)(n-1)\).

5. Определим значение разности арифметической прогрессии \(d\). По условию, разность прогрессии \(d > 0\). Поскольку за победу команда получает 2 очка, а за поражение 0, количество очков, набранных каждой командой, должно быть целым числом, кратным 2. Следовательно, разность между очками двух команд (членами арифметической прогрессии) также должна быть целым числом, кратным 2. Минимальная положительная разность между очками, которая может возникнуть, составляет 2 (например, если одна команда выиграла на одну игру больше). Таким образом, \(d \ge 2\). Теперь рассмотрим уравнение \(2a_1 = (2-d)(n-1)\). Количество очков \(a_1\) не может быть отрицательным, то есть \(a_1 \ge 0\). Количество команд \(n \ge 1\), и для проведения турнира в один круг должно быть как минимум 2 команды, то есть \(n \ge 2\), следовательно, \(n-1 \ge 1\). Так как \(2a_1 \ge 0\) и \((n-1) > 0\), то множитель \((2-d)\) должен быть неотрицательным: \(2-d \ge 0\). Это неравенство приводит к \(d \le 2\). Совместив условия \(d \ge 2\) и \(d \le 2\), мы приходим к единственному возможному значению для разности прогрессии: \(d=2\).

6. Найдем количество очков, набранных командой, занявшей последнее место (\(a_1\)). Подставим найденное значение \(d=2\) в уравнение \(2a_1 = (2-d)(n-1)\): \(2a_1 = (2-2)(n-1)\). Это упрощается до \(2a_1 = 0 \cdot (n-1)\), что означает \(2a_1 = 0\). Разделив на 2, получаем \(a_1 = 0\).

Количество очков, набранных командой, занявшей последнее место, равно 0.