ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что целое число \(n\) не кратно 3. Докажите, что значение выражения \(n^2 + 8\) кратно 3.

Если \(n\) не кратно 3, то \(n\) может быть вида \(3k+1\) или \(3k+2\).

Для \(n=3k+1\) имеем:
\(n^2+8 = (3k+1)^2+8 = 9k^2+6k+1+8 = 9k^2+6k+9 = 3(3k^2+2k+3)\).

Для \(n=3k+2\) имеем:
\(n^2+8 = (3k+2)^2+8 = 9k^2+12k+4+8 = 9k^2+12k+12 = 3(3k^2+4k+4)\).

В обоих случаях \(n^2+8\) делится на 3.

Известно, что целое число \(n\) не кратно 3. Это означает, что при делении на 3 число \(n\) может давать остаток 1 или 2. Следовательно, число \(n\) может быть представлено в одном из двух видов: \(3k+1\) или \(3k+2\), где \(k\) — некоторое целое число.

1. Рассмотрим первый случай, когда число \(n\) при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае \(n\) можно записать как \(n = 3k+1\), где \(k\) — целое число. Подставим это выражение для \(n\) в данное выражение \(n^2+8\). Получим:
\(n^2+8 = (3k+1)^2+8\).
Раскроем квадрат суммы \((3k+1)^2\) по формуле \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\):
\((3k+1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1\).
Теперь подставим это обратно в выражение для \(n^2+8\):
\(n^2+8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8\).
Приведем подобные слагаемые:
\(n^2+8 = 9k^2 + 6k + 9\).
Заметим, что каждое слагаемое в полученном выражении \((9k^2\), \(6k\), \(9\)) делится на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\(n^2+8 = 3(3k^2 + 2k + 3)\).
Поскольку \(k\) — целое число, то выражение \(3k^2 + 2k + 3\) также является целым числом. Таким образом, \(n^2+8\) представлено в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, что означает, что \(n^2+8\) кратно 3.

2. Рассмотрим второй случай, когда число \(n\) при делении на 3 дает остаток 2. В этом случае \(n\) можно записать как \(n = 3k+2\), где \(k\) — целое число. Подставим это выражение для \(n\) в данное выражение \(n^2+8\). Получим:
\(n^2+8 = (3k+2)^2+8\).
Раскроем квадрат суммы \((3k+2)^2\) по формуле \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\):
\((3k+2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4\).
Теперь подставим это обратно в выражение для \(n^2+8\):
\(n^2+8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8\).
Приведем подобные слагаемые:
\(n^2+8 = 9k^2 + 12k + 12\).
Заметим, что каждое слагаемое в полученном выражении \((9k^2\), \(12k\), \(12\)) делится на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\(n^2+8 = 3(3k^2 + 4k + 4)\).
Поскольку \(k\) — целое число, то выражение \(3k^2 + 4k + 4\) также является целым числом. Таким образом, \(n^2+8\) представлено в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, что означает, что \(n^2+8\) кратно 3.

Из рассмотренных случаев следует, что если целое число \(n\) не кратно 3, то выражение \(n^2+8\) всегда кратно 3.