ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что целое число \(n\) не кратно 3. Докажите, что значение выражения \(n^2 + 8\) кратно 3.

Известно, что целое число \(n\) не кратно 3. Докажем, что выражение \(n^2 + 8\) кратно 3.

Если целое число \(n\) не кратно 3, то при делении на 3 оно может давать остаток 1 или 2. Следовательно, \(n\) может быть представлено в одном из следующих видов:

1. **Случай 1: \(n = 3k + 1\)**, где \(k\) — некоторое целое число.
Подставим это выражение для \(n\) в \(n^2 + 8\):
\[n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8\]
Раскроем скобки:
\[(3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1\]
Теперь подставим это обратно в выражение:
\[n^2 + 8 = 9k^2 + 6k + 1 + 8\]
\[n^2 + 8 = 9k^2 + 6k + 9\]
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\[n^2 + 8 = 3(3k^2 + 2k + 3)\]
Поскольку \(3k^2 + 2k + 3\) является целым числом, то \(3(3k^2 + 2k + 3)\) кратно 3.

2. **Случай 2: \(n = 3k + 2\)**, где \(k\) — некоторое целое число.
Подставим это выражение для \(n\) в \(n^2 + 8\):
\[n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8\]
Раскроем скобки:
\[(3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4\]
Теперь подставим это обратно в выражение:
\[n^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 4 + 8\]
\[n^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 12\]
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\[n^2 + 8 = 3(3k^2 + 4k + 4)\]
Поскольку \(3k^2 + 4k + 4\) является целым числом, то \(3(3k^2 + 4k + 4)\) кратно 3.

**Вывод:**
В обоих возможных случаях, когда целое число \(n\) не кратно 3, выражение \(n^2 + 8\) оказывается кратным 3.
Что и требовалось доказать.

Известно, что целое число \(n\) не кратно 3. Это означает, что при делении на 3 число \(n\) может давать остаток 1 или 2. Следовательно, число \(n\) может быть представлено в одном из двух видов: \(3k+1\) или \(3k+2\), где \(k\) — некоторое целое число.

1. Рассмотрим первый случай, когда число \(n\) при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае \(n\) можно записать как \(n = 3k+1\), где \(k\) — целое число. Подставим это выражение для \(n\) в данное выражение \(n^2+8\). Получим:
\(n^2+8 = (3k+1)^2+8\).
Раскроем квадрат суммы \((3k+1)^2\) по формуле \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\):
\((3k+1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1\).
Теперь подставим это обратно в выражение для \(n^2+8\):
\(n^2+8 = (9k^2 + 6k + 1) + 8\).
Приведем подобные слагаемые:
\(n^2+8 = 9k^2 + 6k + 9\).
Заметим, что каждое слагаемое в полученном выражении \((9k^2\), \(6k\), \(9\)) делится на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\(n^2+8 = 3(3k^2 + 2k + 3)\).
Поскольку \(k\) — целое число, то выражение \(3k^2 + 2k + 3\) также является целым числом. Таким образом, \(n^2+8\) представлено в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, что означает, что \(n^2+8\) кратно 3.

2. Рассмотрим второй случай, когда число \(n\) при делении на 3 дает остаток 2. В этом случае \(n\) можно записать как \(n = 3k+2\), где \(k\) — целое число. Подставим это выражение для \(n\) в данное выражение \(n^2+8\). Получим:
\(n^2+8 = (3k+2)^2+8\).
Раскроем квадрат суммы \((3k+2)^2\) по формуле \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\):
\((3k+2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot (3k) \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4\).
Теперь подставим это обратно в выражение для \(n^2+8\):
\(n^2+8 = (9k^2 + 12k + 4) + 8\).
Приведем подобные слагаемые:
\(n^2+8 = 9k^2 + 12k + 12\).
Заметим, что каждое слагаемое в полученном выражении \((9k^2\), \(12k\), \(12\)) делится на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
\(n^2+8 = 3(3k^2 + 4k + 4)\).
Поскольку \(k\) — целое число, то выражение \(3k^2 + 4k + 4\) также является целым числом. Таким образом, \(n^2+8\) представлено в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, что означает, что \(n^2+8\) кратно 3.

Из рассмотренных случаев следует, что если целое число \(n\) не кратно 3, то выражение \(n^2+8\) всегда кратно 3.