ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите решения неравенства \((a^2 — 1) x a — 1\) в зависимости от значения параметра \(a\).

Если \(a = -1\), то решений нет, то есть \(x \in \emptyset\).

Если \(a = 1\), то \(x\) — любое действительное число, то есть \(x \in \mathbb{R}\).

Если \(a < -1\) или \(a > 1\), то \(x \le \frac{1}{a + 1}\).

Если \(-1 < a < 1\), то \(x \ge \frac{1}{a + 1}\).

1. Рассмотрим исходное неравенство: \((a^2 — 1)x \le a — 1\).
Разложим множитель \((a^2 — 1)\) как разность квадратов: \((a — 1)(a + 1)\).
Тогда неравенство примет вид: \((a — 1)(a + 1)x \le a — 1\).

2. Случай 1: Коэффициент при \(x\) равен нулю.
Это происходит, когда \((a — 1)(a + 1) = 0\).
Это означает, что либо \(a — 1 = 0\), то есть \(a = 1\), либо \(a + 1 = 0\), то есть \(a = -1\).

2.1. Если \(a = 1\):
Подставим \(a = 1\) в неравенство: \((1 — 1)(1 + 1)x \le 1 — 1\).
Получаем \(0 \cdot 2x \le 0\), что упрощается до \(0 \le 0\).
Это утверждение является истинным для любого действительного значения \(x\).
Следовательно, при \(a = 1\), решением является \(x \in \mathbb{R}\).

2.2. Если \(a = -1\):
Подставим \(a = -1\) в неравенство: \((-1 — 1)(-1 + 1)x \le -1 — 1\).
Получаем \((-2)(0)x \le -2\), что упрощается до \(0 \le -2\).
Это утверждение является ложным.
Следовательно, при \(a = -1\), решений нет, то есть \(x \in \emptyset\).

3. Случай 2: Коэффициент при \(x\) положителен.
Это происходит, когда \((a — 1)(a + 1) > 0\).
Это неравенство выполняется, когда \(a > 1\) или \(a < -1\).
В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на \((a — 1)(a + 1)\), не меняя знак неравенства.

\((a — 1)(a + 1)x \le a — 1\)
Разделим обе части на \((a — 1)\).
Если \(a > 1\), то \(a — 1 > 0\), и знак неравенства не меняется: \((a + 1)x \le 1\).
Так как \(a > 1\), то \(a + 1 > 0\). Разделим на \((a + 1)\), знак не меняется: \(x \le \frac{1}{a + 1}\).

Если \(a < -1\), то \(a — 1 < 0\), и знак неравенства меняется: \((a + 1)x \ge 1\).
Так как \(a < -1\), то \(a + 1 < 0\). Разделим на \((a + 1)\), знак меняется обратно: \(x \le \frac{1}{a + 1}\).

Объединяя эти два подслучая, получаем: если \(a < -1\) или \(a > 1\), то \(x \le \frac{1}{a + 1}\).

4. Случай 3: Коэффициент при \(x\) отрицателен.
Это происходит, когда \((a — 1)(a + 1) < 0\).
Это неравенство выполняется, когда \(-1 < a < 1\).
В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на \((a — 1)(a + 1)\), при этом знак неравенства изменится на противоположный.

\((a — 1)(a + 1)x \le a — 1\)
Разделим обе части на \((a — 1)\). Так как \(-1 < a < 1\), то \(a — 1 < 0\), и знак неравенства меняется: \((a + 1)x \ge 1\).
Так как \(-1 < a < 1\), то \(a + 1 > 0\). Разделим на \((a + 1)\), знак не меняется: \(x \ge \frac{1}{a + 1}\).

Следовательно, если \(-1 < a < 1\), то \(x \ge \frac{1}{a + 1}\).