ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_3 + a_7 + a_{13} = 33\) и \(a_6 — a_8 — a_{10} = -1\).

Составим систему уравнений по условиям: \(3a_1 + 18d = 33\) и \(-a_1 — 2d = -1\).

Из второго уравнения получаем \(a_1 + 2d = 1\), отсюда \(a_1 = 1 — 2d\). Подставляем в первое: \(3(1 — 2d) + 18d = 33\), отсюда \(3 + 12d = 33\), значит \(d = 2{,}5\), а \(a_1 = -4\).

Сумма первых 33 членов: \(S_{33} = \frac{2a_1 + 32d}{2} \cdot 33\). Считаем: \(2a_1 + 32d = -8 + 80 = 72\), \(S_{33} = 36 \cdot 33 = 1188\).

1188

В задаче речь идет об арифметической прогрессии, то есть о последовательности чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Обозначим первый член прогрессии через \(a_1\), а разность через \(d\). Тогда общий член прогрессии, то есть выражение для любого \(n\)-го члена, можно записать так: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). В задаче даны два условия: сумма некоторых членов равна определенному числу и разность других членов также равна определенному числу. Эти условия позволяют составить систему уравнений относительно \(a_1\) и \(d\).

Сначала выразим по формуле те члены прогрессии, которые встречаются в условиях задачи. Третий член: \(a_3 = a_1 + 2d\), пятый: \(a_5 = a_1 + 4d\), тринадцатый: \(a_{13} = a_1 + 12d\). Их сумма по условию равна 33, значит, \(a_3 + a_5 + a_{13} = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 3a_1 + 18d = 33\). Теперь рассмотрим второе условие: пятнадцатый член минус восьмой и минус десятый. По формуле: \(a_{15} = a_1 + 14d\), \(a_8 = a_1 + 7d\), \(a_{10} = a_1 + 9d\). Подставляем: \(a_{15} — a_8 — a_{10} = (a_1 + 14d) — (a_1 + 7d) — (a_1 + 9d)\). Раскрываем скобки: \(a_1 + 14d — a_1 — 7d — a_1 — 9d = -a_1 — 2d\). По условию это выражение равно -1, то есть \(-a_1 — 2d = -1\). Домножим обе части на -1: \(a_1 + 2d = 1\).

Теперь у нас есть два уравнения: первое — \(3a_1 + 18d = 33\), второе — \(a_1 + 2d = 1\). Выразим из второго уравнения \(a_1\): \(a_1 = 1 — 2d\). Подставим это значение в первое уравнение: \(3(1 — 2d) + 18d = 33\). Раскроем скобки: \(3 — 6d + 18d = 33\). Приведем подобные: \(3 + 12d = 33\). Выразим \(d\): \(12d = 30\), значит, \(d = 2{,}5\). Теперь найдем \(a_1\): \(a_1 = 1 — 2 \cdot 2{,}5 = 1 — 5 = -4\).

Осталось найти сумму первых 33 членов прогрессии. Формула суммы \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\). В нашем случае \(n = 33\), \(a_1 = -4\), \(d = 2{,}5\). Сначала вычислим \(2a_1 + 32d\): \(2a_1 = 2 \cdot (-4) = -8\), \(32d = 32 \cdot 2{,}5 = 80\), \(2a_1 + 32d = -8 + 80 = 72\). Теперь подставим в формулу: \(S_{33} = \frac{72}{2} \cdot 33 = 36 \cdot 33 = 1188\).

1188