ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) такова, что \(b_1 = 8\), \(b_{n+1} = -b_n\). Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Дана последовательность: \( b_1 = 8 \), \( b_{n+1} = -b_n \).

Для проверки, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение соседних членов:
\( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-b_n}{b_n} = -1 \).

Так как отношение между любыми двумя соседними членами постоянно и равно \(-1\), последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да.

Рассмотрим данную числовую последовательность: \( b_1 = 8 \), \( b_{n+1} = -b_n \). Это означает, что каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на \(-1\). Найдём несколько первых членов для наглядности: \( b_1 = 8 \), \( b_2 = -8 \), \( b_3 = 8 \), \( b_4 = -8 \), и так далее. Таким образом, последовательность чередует значения \(8\) и \(-8\).

Проверим, является ли эта последовательность геометрической прогрессией. Напомним, что геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой отношение любого члена к предыдущему постоянно, то есть \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \). Подставляем формулу для данной последовательности: \( q = \frac{-b_n}{b_n} \). Это выражение можно упростить: \( q = -1 \). Таким образом, отношение между каждым следующим и предыдущим членом всегда равно \(-1\), независимо от номера члена.

Постоянство отношения \( q \) подтверждается для любых \( n \): например, \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{8} = -1 \), \( \frac{b_3}{b_2} = \frac{8}{-8} = -1 \), \( \frac{b_4}{b_3} = \frac{-8}{8} = -1 \). Следовательно, последовательность действительно удовлетворяет определению геометрической прогрессии с знаменателем \( q = -1 \). Это означает, что она является геометрической прогрессией.

Ответ: да.