ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = 5 \cdot 4^n — 2\). Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

1) Дана числовая последовательность: \( b_n = 5 \cdot 4^{1-2n} \);
Является геометрической прогрессией:
\( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{1-2(n+1)}}{5 \cdot 4^{1-2n}} = \frac{4^{1-2n-2}}{4^{1-2n}} = 4^{-2} = \frac{1}{16} \);
2) Первый член прогрессии: \( b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25 \);
Ответ: \( b_1 = 1.25 \); \( q = \frac{1}{16} \).

1) Дана числовая последовательность: \( b_n = 5 \cdot 4^{1-2n} \). Необходимо определить, является ли она геометрической прогрессией. Для этого вычислим отношение последовательных членов последовательности, то есть знаменатель прогрессии \( q \). Формула для \( q \) выглядит как \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \). Подставим выражения для \( b_{n+1} \) и \( b_n \): \( q = \frac{5 \cdot 4^{1-2(n+1)}}{5 \cdot 4^{1-2n}} \). Упростим это выражение: в числителе \( 1-2(n+1) = 1-2n-2 = -1-2n \), следовательно, \( q = \frac{5 \cdot 4^{-1-2n}}{5 \cdot 4^{1-2n}} \). Сократим на 5 и применим свойство степеней: \( q = 4^{(-1-2n) — (1-2n)} = 4^{-1-2n-1+2n} = 4^{-2} = \frac{1}{16} \). Таким образом, отношение \( q \) постоянно и не зависит от \( n \), что подтверждает, что последовательность является геометрической прогрессией с знаменателем \( q = \frac{1}{16} \).

2) Найдем первый член прогрессии \( b_1 \). Для этого подставим \( n=1 \) в формулу последовательности: \( b_1 = 5 \cdot 4^{1-2 \cdot 1} = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 1.25.

Ответ: \( b_1 = 1.25 \); \( q = \frac{1}{16} \).