ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = 5 \cdot 4^n — 2\). Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Дана числовая последовательность: \( b_n = 5 \cdot 4^{n-2} \);

1) Является геометрической прогрессией:

\[
q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{(n+1)-2}}{5 \cdot 4^{n-2}} = \frac{4^{n-1}}{4^{n-2}} = 4;
\]

2) Первый член прогрессии:

\[
b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 : 4 = 1,25;
\]

Ответ: \( b_1 = 1,25; \quad q = 4. \)

Дана числовая последовательность \( b_n = 5 \cdot 4^{n-2} \). Чтобы понять, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, постоянна ли величина отношения любого члена последовательности к предыдущему. Это отношение называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой \( q \). Формально, чтобы проверить, что \( b_n \) — геометрическая прогрессия, нужно вычислить \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \) и убедиться, что оно не зависит от \( n \).

Подставим выражения для \( b_{n+1} \) и \( b_n \). По формуле, \( b_n = 5 \cdot 4^{n-2} \), значит, \( b_{n+1} = 5 \cdot 4^{(n+1)-2} = 5 \cdot 4^{n-1} \). Теперь вычислим отношение:

\( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{n-1}}{5 \cdot 4^{n-2}} \).

В числителе и знаменателе есть множитель 5, который можно сократить:

\( q = \frac{4^{n-1}}{4^{n-2}} \).

При делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются:

\( q = 4^{(n-1) — (n-2)} = 4^1 = 4 \).

Это значит, что отношение соседних членов последовательности постоянно и равно 4, следовательно, последовательность действительно является геометрической прогрессией с знаменателем \( q = 4 \).

Далее нужно найти первый член прогрессии \( b_1 \). Подставим \( n=1 \) в формулу:

\( b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} \).

Степень с отрицательным показателем означает обратное число, то есть:

\( 4^{-1} = \frac{1}{4} \),

поэтому

\( b_1 = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25 \).

Таким образом, первый член прогрессии равен 1,25, а знаменатель прогрессии равен 4. Это позволяет записать всю последовательность как последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на 4, начиная с 1,25. Ответ: \( b_1 = 1,25 \), \( q = 4 \).