ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что последовательность \((x_n)\), заданная формулой n-го члена \(x_n = 7^{n+1}\), является геометрической прогрессией, и укажите её первый член и знаменатель.

Дана числовая последовательность:
\( x_n = 7^{n+1} \)

1) Является геометрической прогрессией: \( 7^{n+2} \)
2) Первый член прогрессии: \( x_1 = 7^{1+1} = 7^2 = 49 \)

Ответ: \( x_1 = 49 \); \( q = 7 \).

Дана числовая последовательность: \( x_n = 7^{n+1} \). Необходимо определить, является ли она геометрической прогрессией, найти первый член прогрессии и знаменатель прогрессии.

1) Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, рассмотрим соотношение между соседними членами последовательности. Для геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии. Вычислим отношение \( \frac{x_{n+1}}{x_n} \). Имеем \( x_{n+1} = 7^{(n+1)+1} = 7^{n+2} \) и \( x_n = 7^{n+1} \). Тогда \( \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{7^{n+2}}{7^{n+1}} = 7^{(n+2)-(n+1)} = 7^1 = 7 \). Отношение постоянно и равно 7, значит, последовательность является геометрической прогрессией с знаменателем \( q = 7 \).

2) Найдем первый член прогрессии. Первый член последовательности соответствует \( n = 1 \), то есть \( x_1 = 7^{1+1} = 7^2 = 49 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 49.

Ответ: первый член прогрессии \( x_1 = 49 \); знаменатель прогрессии \( q = 7 \).