ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Третий член геометрической прогрессии равен \(3\). Найдите произведение пяти первых членов этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_3 = 3 \);
Произведение пяти первых членов:
\( D = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5 \);
\( D = b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) \cdot (b_1 \cdot q^3) \cdot (b_1 \cdot q^4) \);
\( D = b_1^5 \cdot q^{10} = (b_1 \cdot q^2)^5 = b_3^5 = 3^5 = 243 \);
Ответ: 243.

Дана геометрическая прогрессия, в которой третий член равен 3, то есть \( b_3 = 3 \). Необходимо найти произведение первых пяти членов этой прогрессии, то есть \( D = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5 \).

Для геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \). Таким образом, можно выразить все члены через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \): \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \).

Подставим эти выражения в формулу для произведения \( D \): \( D = b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) \cdot (b_1 \cdot q^3) \cdot (b_1 \cdot q^4) \).

Перемножим все множители: \( D = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4} = b_1^5 \cdot q^{10} \). Заметим, что \( q^{10} = (q^2)^5 \), поэтому выражение можно переписать как \( D = b_1^5 \cdot (q^2)^5 = (b_1 \cdot q^2)^5 \).

Так как \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 3 \), то \( b_1 \cdot q^2 = b_3 = 3 \). Подставим это значение в выражение для \( D \): \( D = (b_1 \cdot q^2)^5 = 3^5 \).

Вычислим \( 3^5 \): \( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \). Таким образом, \( D = 243 \).

Ответ: 243.