ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана конечная геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, \ldots, b_n\). Докажите, что \(b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n, \, k \leq n\).

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1; b_2; b_3; \ldots; b_n; \)

Докажем равенство: \( b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n \), \( k \leq n \);

\( (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{(n-k+1)-1}) = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{n-1}) \);

\( b_1^2 \cdot q^{k-1} \cdot q^{n-k} = b_1^2 \cdot q^{n-1} \);

\( b_1^2 \cdot q^{n-1} = b_1^2 \cdot q^{n-1} \);

Что и требовалось доказать.

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1; b_2; b_3; \ldots; b_n; \). Нам необходимо доказать равенство \( b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n \) для всех \( k \leq n \). Давайте разберем это шаг за шагом, чтобы понять, как это работает.

Сначала вспомним, что в геометрической прогрессии каждый последующий член получается из предыдущего путем умножения на общий множитель \( q \), называемый знаменателем прогрессии. Таким образом, первый член прогрессии \( b_1 \), второй член \( b_2 = b_1 \cdot q \), третий член \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) и так далее. Общий вид \( k \)-го члена прогрессии можно записать как \( b_k = b_1 \cdot q^{k-1} \).

Теперь выразим член \( b_{n-k+1} \), который также является членом той же геометрической прогрессии. Используя общую формулу, получаем \( b_{n-k+1} = b_1 \cdot q^{(n-k+1)-1} \), что упрощается до \( b_{n-k+1} = b_1 \cdot q^{n-k} \).

Перейдем к доказательству равенства. Умножим \( b_k \) на \( b_{n-k+1} \): \( b_k \cdot b_{n-k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-k}) \). Перегруппируем множители: это равно \( b_1 \cdot b_1 \cdot q^{k-1} \cdot q^{n-k} \), или \( b_1^2 \cdot q^{(k-1) + (n-k)} \).

Упростим показатель степени у \( q \): \( (k-1) + (n-k) = n — 1 \). Таким образом, выражение становится \( b_1^2 \cdot q^{n-1} \).

Теперь рассмотрим правую часть равенства, то есть \( b_1 \cdot b_n \). Поскольку \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), то \( b_1 \cdot b_n = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{n-1}) = b_1^2 \cdot q^{n-1} \).

Сравнивая левую и правую части, видим, что \( b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1^2 \cdot q^{n-1} \) и \( b_1 \cdot b_n = b_1^2 \cdot q^{n-1} \). Следовательно, \( b_k \cdot b_{n-k+1} = b_1 \cdot b_n \).

Мы показали, что равенство выполняется для любых \( k \leq n \) в геометрической прогрессии. Это завершает доказательство.

Что и требовалось доказать.