ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для геометрической прогрессии \((b_n)\) справедливо равенство: \(b_n b_k = b_{n+m} b_{k-m}, \, k > m\).

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1; b_2; b_3; \ldots; b_n \).

Докажем равенство: \( b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m} \), \( k > m \); \( (b_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{k-1}) = (b_1 \cdot q^{(n+m)-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{(k-m)-1}) \); \( b_2 \cdot q^{n+k-2} = b_2 \cdot q^{n+k-2} \).

Что и требовалось доказать.

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1; b_2; b_3; \ldots; b_n \). Необходимо доказать равенство \( b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m} \), где \( k > m \).

Рассмотрим, что из себя представляет геометрическая прогрессия. Каждый член прогрессии можно выразить через первый член \( b_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \). Так, \( n \)-ый член прогрессии записывается как \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Аналогично, \( k \)-ый член: \( b_k = b_1 \cdot q^{k-1} \), \( (n+m) \)-ый член: \( b_{n+m} = b_1 \cdot q^{(n+m)-1} \), а \( (k-m) \)-ый член: \( b_{k-m} = b_1 \cdot q^{(k-m)-1} \).

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство \( b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m} \). Получаем: \( (b_1 \cdot q^{n-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{k-1}) = (b_1 \cdot q^{(n+m)-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{(k-m)-1}) \).

Упростим левую часть равенства: \( b_1 \cdot b_1 \cdot q^{n-1} \cdot q^{k-1} = b_1^2 \cdot q^{(n-1)+(k-1)} = b_1^2 \cdot q^{n+k-2} \). Теперь правая часть: \( b_1 \cdot b_1 \cdot q^{(n+m)-1} \cdot q^{(k-m)-1} = b_1^2 \cdot q^{((n+m)-1)+((k-m)-1)} =\)
\(= b_1^2 \cdot q^{(n+m+k-m-2)} = b_1^2 \cdot q^{n+k-2} \).

Сравнивая левую и правую части, видим, что они равны: \( b_1^2 \cdot q^{n+k-2} = b_1^2 \cdot q^{n+k-2} \). Это подтверждает, что исходное равенство выполняется.

Таким образом, мы доказали, что \( b_n \cdot b_k = b_{n+m} \cdot b_{k-m} \) при \( k > m \). Что и требовалось доказать.