ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В правильный треугольник со стороной \(a\) последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 27.1). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу n-го члена этой прогрессии.

Пусть сторона n-го треугольника равна x, тогда: 0,5x — сторона следующего треугольника;

1) Периметры треугольников составят:
\( P_n = 3x \); \( P_{n+1} = 3 \cdot 0,5x = 1,5x \);

2) Имеем геометрическую прогрессию:
\( q = P_{n+1}/P_n = 1,5x / 3x = 0,5 \);
\( P_1 = 3a \);

3) Формула n-го члена прогрессии:
\( P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 3a \cdot (0,5)^{n-1} \);

Ответ: \( P_n = 3a \cdot (0,5)^{n-1} \).

Пусть сторона n-го треугольника равна x. Тогда сторона следующего треугольника будет равна \( 0.5x \), так как каждый следующий треугольник уменьшается в размере в два раза по стороне. Мы будем рассматривать последовательность периметров таких треугольников, чтобы найти закономерность и вывести формулу для n-го члена.

1) Периметры треугольников составят:
Для n-го треугольника с длиной стороны \( x \) периметр будет равен \( P_n = 3x \), так как треугольник имеет три стороны. Для следующего треугольника, сторона которого равна \( 0.5x \), периметр будет \( P_{n+1} = 3 \cdot 0.5x = 1.5x \). Таким образом, мы видим, что периметр уменьшается с каждым следующим треугольником.

2) Имеем геометрическую прогрессию:
Теперь определим отношение между последовательными периметрами: \( q = \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{1.5x}{3x} = 0.5 \). Это означает, что каждый следующий периметр равен половине предыдущего, и последовательность периметров является геометрической прогрессией с первым членом \( P_1 = 3a \), где \( a \) — это сторона первого треугольника.

3) Формула n-го члена прогрессии:
Для геометрической прогрессии n-й член можно выразить как \( P_n = P_1 \cdot q^{n-1} \). Подставляя значения \( P_1 = 3a \) и \( q = 0.5 \), получаем \( P_n = 3a \cdot (0.5)^{n-1} \). Эта формула позволяет найти периметр любого треугольника в последовательности по его номеру n.

Ответ: периметр n-го треугольника выражается формулой \( P_n = 3a \cdot (0.5)^{n-1} \).