ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\). Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) \(b_1, b_3, \ldots, b_{2n-1}\);
2) \(2b_1, 2b_2, \ldots, 2b_n\);
3) \(b_1 + b_2, b_2 + b_3, \ldots, b_{n-1} + b_n\);
4) \(\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \ldots, \frac{1}{b_n}\).
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) Последовательность \( b_1; b_3; \ldots; b_{2n-1} \);
Члены данной последовательности:
\( C_n = b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{2n-2} \);
\( C_{n-1} = b_1 \cdot q^{2(n-1)-2} = b_1 \cdot q^{2n-4} \);
Отношение соседних членов:
\( q_c = \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{2n-2}}{b_1 \cdot q^{2n-4}} = q^2 \);
Ответ: \( q^2 \).

2) Последовательность \( 2b_1; 2b_2; \ldots; 2b_n \);
Члены данной последовательности:
\( C_n = 2b_n = 2(b_1 \cdot q^{n-1}) \);
\( C_{n-1} = 2b_{n-1} = 2(b_1 \cdot q^{n-2}) \);
Отношение соседних членов:
\( q_c = \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{2(b_1 \cdot q^{n-1})}{2(b_1 \cdot q^{n-2})} = q \);
Ответ: \( q \).

3) Последовательность \( b_1 + b_2; b_2 + b_3; \ldots; b_{n-1} + b_n \);
Члены данной последовательности:
\( C_n = b_{n-1} + b_n = b_1 \cdot q^{n-2} + b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 q^{n-1} (q^{-1} + 1) \);
\( C_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-3} + b_1 \cdot q^{n-2} = b_1 q^{n-1} (q^{-2} + q^{-1}) \);
Отношение соседних членов:
\( q_c = \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{b_1 q^{n-1} (q^{-1} + 1)}{b_1 q^{n-1} (q^{-2} + q^{-1})} = \frac{q^{-1} + 1}{q^{-2} + q^{-1}} = \frac{q + q^2}{q (1 + q)} = q \);
Ответ: \( q \), где \( q \neq -1 \).

4) Последовательность \( \frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \ldots; \frac{1}{b_n} \);
Члены данной последовательности:
\( C_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b_1 \cdot q^{n-1}} \);
\( C_{n-1} = \frac{1}{b_{n-1}} = \frac{1}{b_1 \cdot q^{n-2}} \);
Отношение соседних членов:
\( q_c = \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{\frac{1}{b_1 \cdot q^{n-1}}}{\frac{1}{b_1 \cdot q^{n-2}}} = \frac{1}{q} \);
Ответ: \( \frac{1}{q} \).

1) Рассмотрим последовательность \( b_1; b_3; \ldots; b_{2n-1} \), которая состоит из нечетных членов геометрической прогрессии. Наша цель — определить, является ли эта последовательность также геометрической прогрессией, то есть имеет ли она постоянное отношение между соседними членами.

Для этого запишем общий член последовательности. Поскольку \( b_{2n-1} \) — это \( (2n-1) \)-й член исходной геометрической прогрессии, его можно выразить как \( b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{2n-2} \), где \( q \) — знаменатель прогрессии. Обозначим \( C_n = b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{2n-2} \). Тогда предыдущий член последовательности будет \( C_{n-1} = b_{2(n-1)-1} = b_{2n-3} = b_1 \cdot q^{2n-4} \).

Теперь вычислим отношение соседних членов: \( \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{2n-2}}{b_1 \cdot q^{2n-4}} = q^{(2n-2)-(2n-4)} = q^2 \). Мы видим, что отношение не зависит от \( n \), а является константой, равной \( q^2 \). Это означает, что данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \( q^2 \).

Ответ: \( q^2 \).

2) Рассмотрим последовательность \( 2b_1; 2b_2; \ldots; 2b_n \), где каждый член исходной геометрической прогрессии умножен на 2. Нам нужно проверить, остается ли эта последовательность геометрической прогрессией.

Общий член последовательности можно записать как \( C_n = 2b_n = 2(b_1 \cdot q^{n-1}) \). Аналогично, предыдущий член будет \( C_{n-1} = 2b_{n-1} = 2(b_1 \cdot q^{n-2}) \).

Вычислим отношение соседних членов: \( \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{2 \cdot b_1 \cdot q^{n-1}}{2 \cdot b_1 \cdot q^{n-2}} = q^{(n-1)-(n-2)} = q^1 = q \). Отношение постоянно и равно \( q \), что указывает на то, что данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \( q \).

Ответ: \( q \).

3) Рассмотрим последовательность \( b_1 + b_2; b_2 + b_3; \ldots; b_{n-1} + b_n \), где каждый член представляет собой сумму двух соседних членов исходной геометрической прогрессии. Проверим, является ли эта последовательность геометрической.

Запишем общий член: \( C_n = b_{n-1} + b_n = b_1 \cdot q^{n-2} + b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot q^{n-2} (1 + q) \). Аналогично, предыдущий член: \( C_{n-1} = b_{n-2} + b_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-3} + b_1 \cdot q^{n-2} = b_1 \cdot q^{n-3} (1 + q) \).

Теперь найдем отношение: \( \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{n-2} (1 + q)}{b_1 \cdot q^{n-3} (1 + q)} = q^{(n-2)-(n-3)} = q^1 = q \). Отношение постоянно и равно \( q \), но нужно учесть, что при \( q = -1 \) знаменатель \( 1 + q = 0 \), что делает выражение неопределенным. Таким образом, последовательность является геометрической со знаменателем \( q \), если \( q \neq -1 \).

Ответ: \( q \), где \( q \neq -1 \).

4) Рассмотрим последовательность \( \frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \ldots; \frac{1}{b_n} \), где каждый член является обратной величиной соответствующего члена исходной геометрической прогрессии. Определим, является ли эта последовательность геометрической.

Общий член последовательности: \( C_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b_1 \cdot q^{n-1}} \). Предыдущий член: \( C_{n-1} = \frac{1}{b_{n-1}} = \frac{1}{b_1 \cdot q^{n-2}} \).

Вычислим отношение соседних членов: \( \frac{C_n}{C_{n-1}} = \frac{\frac{1}{b_1 \cdot q^{n-1}}}{\frac{1}{b_1 \cdot q^{n-2}}} = \frac{q^{n-2}}{q^{n-1}} = q^{(n-2)-(n-1)} = q^{-1} = \frac{1}{q} \). Отношение постоянно и равно \( \frac{1}{q} \), что означает, что данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \( \frac{1}{q} \).

Ответ: \( \frac{1}{q} \).