ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\). Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) \(b_2, b_4, …, b_{2n}\);
2) \(b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, …, b_n b_{n+2}\)?

1) Последовательность \( b_2; b_4; \dots; b_{2n} \)

Члены данной последовательности:
\( c_n = b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1} \);
\( c_{n-1} = b_1 \cdot q^{2(n-1)-1} = b_1 \cdot q^{2n-3} \);

Отношение соседних членов:
\( \frac{c_n}{c_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{2n-1}}{b_1 \cdot q^{2n-3}} = q^2 \);

Ответ: \( q^2 \).

2) Последовательность \( b_1 b_3; b_2 b_4; b_3 b_5; \dots; b_{n-2} b_n \)

Члены данной последовательности:
\( c_n = b_{n-2} b_n = (b_1 \cdot q^{n-3}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-1}) = b_1^2 \cdot q^{2n-4} \);
\( c_{n-1} = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)-4} = b_1^2 \cdot q^{2n-6} \);

Отношение соседних членов:
\( \frac{c_n}{c_{n-1}} = \frac{b_1^2 \cdot q^{2n-4}}{b_1^2 \cdot q^{2n-6}} = q^2 \);

Ответ: \( q^2 \).

1) Рассмотрим последовательность \( b_2; b_4; \dots; b_{2n} \), которая состоит из четных членов геометрической прогрессии \( (b_n) \). Нам нужно определить, является ли данная последовательность также геометрической прогрессией, то есть имеет ли она постоянное отношение между соседними членами.

Для этого выразим общий член последовательности. Поскольку \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( q \) — знаменатель прогрессии, то для члена с индексом \( 2n \) получаем: \( b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1} \). Обозначим члены нашей последовательности как \( c_n = b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1} \). Тогда предыдущий член последовательности будет \( c_{n-1} = b_{2(n-1)} = b_{2n-2} = b_1 \cdot q^{2(n-1)-1} = b_1 \cdot q^{2n-3} \).

Теперь найдем отношение соседних членов последовательности: \( \frac{c_n}{c_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^{2n-1}}{b_1 \cdot q^{2n-3}} \). Сокращая \( b_1 \) в числителе и знаменателе, получаем \( \frac{q^{2n-1}}{q^{2n-3}} = q^{(2n-1)-(2n-3)} = q^{2n-1-2n+3} = q^2 \). Таким образом, отношение между соседними членами постоянно и равно \( q^2 \).

Следовательно, последовательность \( b_2; b_4; \dots; b_{2n} \) является геометрической прогрессией со знаменателем \( q^2 \). Ответ: \( q^2 \).

2) Теперь рассмотрим последовательность \( b_1 b_3; b_2 b_4; b_3 b_5; \dots; b_{n-2} b_n \), где каждый член представляет собой произведение двух членов исходной геометрической прогрессии \( (b_n) \). Нам нужно проверить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией.

Обозначим общий член данной последовательности как \( c_n = b_{n-2} \cdot b_n \). Поскольку \( b_k = b_1 \cdot q^{k-1} \), то \( b_{n-2} = b_1 \cdot q^{n-3} \) (при \( n \geq 3 \), для меньших \( n \) индекс корректируется, но общий подход сохраняется), а \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Тогда \( c_n = (b_1 \cdot q^{n-3}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-1}) = b_1^2 \cdot q^{n-3+n-1} = b_1^2 \cdot q^{2n-4} \).

Аналогично, предыдущий член последовательности \( c_{n-1} = b_{n-3} \cdot b_{n-1} = (b_1 \cdot q^{n-4}) \cdot (b_1 \cdot q^{n-2}) = b_1^2 \cdot q^{n-4+n-2} = b_1^2 \cdot q^{2n-6} \).

Теперь вычислим отношение соседних членов: \( \frac{c_n}{c_{n-1}} = \frac{b_1^2 \cdot q^{2n-4}}{b_1^2 \cdot q^{2n-6}} \). Сокращая \( b_1^2 \), получаем \( \frac{q^{2n-4}}{q^{2n-6}} = q^{(2n-4)-(2n-6)} = q^{2n-4-2n+6} = q^2 \). Таким образом, отношение между соседними членами постоянно и равно \( q^2 \).

Следовательно, последовательность \( b_1 b_3; b_2 b_4; b_3 b_5; \dots; b_{n-2} b_n \) также является геометрической прогрессией со знаменателем \( q^2 \). Ответ: \( q^2 \).