ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_4 — b_2 = 30\) и \(b_4 — b_3 = 24\);
2) \(b_2 — b_5 = 78\) и \(b_3 + b_4 + b_5 = -117\).

1) Найти \( b_1 \) и \( q \) геометрической прогрессии, если: \( b_4 — b_2 = 30 \), \( b_4 — b_3 = 24 \);
Первое уравнение: \( b_4 — b_2 = 30 \); \( b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 30 \); \( b_1 q (q^2 — 1) = 30 \); \( b_1 q (q — 1)(q + 1) = 30 \);
\( b_1 = \frac{30}{q (q — 1)(q + 1)} \).
Второе уравнение: \( b_4 — b_3 = 24 \); \( b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q^2 = 24 \); \( b_1 q (q — 1) \cdot q = 24 \); \( \frac{30}{q + 1} \cdot q = 24 \); \( 30 q = 24 (q + 1) \); \( 30 q = 24 q + 24 \); \( 6 q = 24 \); \( q = 4 \);
\( b_1 = \frac{30}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{30}{60} = 0.5 \).
Ответ: \( b_1 = 0.5 \); \( q = 4 \).

2) Найти \( b_1 \) и \( q \) геометрической прогрессии, если: \( b_2 — b_5 = 78 \), \( b_3 + b_4 + b_5 = -117 \);
Первое уравнение: \( b_2 — b_5 = 78 \); \( b_1 \cdot q — b_1 \cdot q^4 = 78 \); \( b_1 q (1 — q^3) = 78 \); \( b_1 q (1 — q)(1 + q + q^2) = 78 \);
\( b_1 = \frac{78}{q (1 — q)(1 + q + q^2)} = \frac{78}{q — q^4} \).
Второе уравнение: \( b_3 + b_4 + b_5 = -117 \); \( b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^4 = -117 \); \( b_1 q (1 + q + q^2) \cdot q = -117 \); \( \frac{78}{1 — q} \cdot q = -117 \);
\( 78 q = -117 (1 — q) \); \( 78 q = -117 + 117 q \); \( 39 q = 117 \); \( q = 3 \);
\( b_1 = \frac{78}{3 — 3^4} = \frac{78}{3 — 81} = \frac{78}{-78} = -1 \).
Ответ: \( b_1 = -1 \); \( q = 3 \).

1) Найти \( b_1 \) и \( q \) геометрической прогрессии, если: \( b_4 — b_2 = 30 \), \( b_4 — b_3 = 24 \).

Рассмотрим условие задачи. У нас есть геометрическая прогрессия, где \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Нам даны два уравнения: разность между четвертым и вторым членами равна 30, а разность между четвертым и третьим членами равна 24. Запишем это в виде уравнений: \( b_4 — b_2 = 30 \) и \( b_4 — b_3 = 24 \).

Выразим члены прогрессии через \( b_1 \) и \( q \). Для второго члена: \( b_2 = b_1 \cdot q \), для третьего: \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), для четвертого: \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \). Подставим эти выражения в первое уравнение: \( b_4 — b_2 = b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = b_1 q (q^2 — 1) = 30 \). Разложим \( q^2 — 1 \) как разность квадратов: \( q^2 — 1 = (q — 1)(q + 1) \), тогда уравнение примет вид: \( b_1 q (q — 1)(q + 1) = 30 \). Отсюда можно выразить \( b_1 \): \( b_1 = \frac{30}{q (q — 1)(q + 1)} \).

Теперь рассмотрим второе уравнение: \( b_4 — b_3 = b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q^2 = b_1 q^2 (q — 1) = 24 \). Подставим выражение для \( b_1 \) из первого уравнения: \( \frac{30}{q (q — 1)(q + 1)} \cdot q^2 (q — 1) = 24 \). Упростим это выражение: \( \frac{30 q}{q + 1} = 24 \). Умножим обе части на \( q + 1 \): \( 30 q = 24 (q + 1) \). Раскроем скобки: \( 30 q = 24 q + 24 \). Вычтем \( 24 q \) из обеих частей: \( 6 q = 24 \). Разделим на 6: \( q = 4 \).

Теперь, зная \( q = 4 \), подставим это значение в выражение для \( b_1 \): \( b_1 = \frac{30}{4 \cdot (4 — 1) \cdot (4 + 1)} = \frac{30}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{30}{60} = 0.5 \). Таким образом, мы нашли значения \( b_1 = 0.5 \) и \( q = 4 \).

Проверим решение. Вычислим члены прогрессии: \( b_2 = 0.5 \cdot 4 = 2 \), \( b_3 = 0.5 \cdot 16 = 8 \), \( b_4 = 0.5 \cdot 64 = 32 \). Теперь проверим условия: \( b_4 — b_2 = 32 — 2 = 30 \), что совпадает с условием, и \( b_4 — b_3 = 32 — 8 = 24 \), что также верно. Ответ подтвержден.

Ответ: \( b_1 = 0.5 \); \( q = 4 \).

2) Найти \( b_1 \) и \( q \) геометрической прогрессии, если: \( b_2 — b_5 = 78 \), \( b_3 + b_4 + b_5 = -117 \).

Рассмотрим вторую задачу. У нас снова геометрическая прогрессия с формулой \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Даны два условия: разность между вторым и пятым членами равна 78, а сумма третьего, четвертого и пятого членов равна -117. Запишем это как уравнения: \( b_2 — b_5 = 78 \) и \( b_3 + b_4 + b_5 = -117 \).

Выразим члены прогрессии через \( b_1 \) и \( q \): \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \). Подставим в первое уравнение: \( b_2 — b_5 = b_1 \cdot q — b_1 \cdot q^4 = b_1 q (1 — q^3) = 78 \). Разложим \( 1 — q^3 \) как разность кубов: \( 1 — q^3 = (1 — q)(1 + q + q^2) \), тогда уравнение станет: \( b_1 q (1 — q)(1 + q + q^2) = 78 \). Выразим \( b_1 \): \( b_1 = \frac{78}{q (1 — q)(1 + q + q^2)} = \frac{78}{q — q^4} \).

Теперь обратимся ко второму уравнению: \( b_3 + b_4 + b_5 = b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^4 = b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -117 \). Подставим выражение для \( b_1 \): \( \frac{78}{q — q^4} \cdot q^2 (1 + q + q^2) = -117 \). Заметим, что \( q — q^4 = q (1 — q^3) = q (1 — q)(1 + q + q^2) \), поэтому упростим: \( \frac{78}{q (1 — q)} \cdot q^2 = \frac{78 q}{1 — q} = -117 \). Умножим обе части на \( 1 — q \): \( 78 q = -117 (1 — q) \). Раскроем скобки: \( 78 q = -117 + 117 q \). Вычтем \( 78 q \) из обеих частей: \( 0 = -117 + 39 q \). Тогда \( 39 q = 117 \), откуда \( q = 3 \).

Теперь подставим \( q = 3 \) в выражение для \( b_1 \): \( b_1 = \frac{78}{3 — 3^4} = \frac{78}{3 — 81} = \frac{78}{-78} = -1 \). Таким образом, \( b_1 = -1 \) и \( q = 3 \).

Проверим решение. Вычислим члены прогрессии: \( b_2 = -1 \cdot 3 = -3 \), \( b_3 = -1 \cdot 9 = -9 \), \( b_4 = -1 \cdot 27 = -27 \), \( b_5 = -1 \cdot 81 = -81 \). Проверим условия: \( b_2 — b_5 = -3 — (-81) = -3 + 81 = 78 \), что совпадает, и \( b_3 + b_4 + b_5 = -9 + (-27) + (-81) = -117 \), что также верно. Ответ подтвержден.

Ответ: \( b_1 = -1 \); \( q = 3 \).