ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(2x + 1\), \(x + 5\) и \(x + 11\) являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) В геометрической прогрессии: \( b_2 = b_1 \cdot b_3 \); \( (x+5)^2 = (2x+1)(x+11) \); \( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 22x + x + 11 \); \( x^2 + 13x — 14 = 0 \); \( D = 13^2 + 4 \cdot 14 = 169 + 56 = 225 \), тогда: \( x_1 = \frac{-13 — 15}{2} = -14 \) и \( x_2 = \frac{-13 + 15}{2} = 1 \);

2) Если \( x = -14 \), тогда: \( b_1 = 2 \cdot (-14) + 1 = -27 \); \( b_2 = -14 + 5 = -9 \); \( b_3 = -14 + 11 = -3 \);

3) Если \( x = 1 \), тогда: \( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \); \( b_2 = 1 + 5 = 6 \); \( b_3 = 1 + 11 = 12 \);

Ответ: если \( x = -14 \), то \(-27, -9, -3\);
если \( x = 1 \), то \(3, 6, 12\).

1) Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой даны первые три члена: \( b_1 = 2x + 1 \), \( b_2 = x + 5 \), \( b_3 = x + 11 \). Для геометрической прогрессии выполняется условие \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \). Подставим выражения для членов прогрессии в это равенство: \( (x + 5)^2 = (2x + 1) \cdot (x + 11) \). Раскроем обе части уравнения. Слева: \( (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \). Справа: \( (2x + 1) \cdot (x + 11) = 2x \cdot x + 2x \cdot 11 + 1 \cdot x + 1 \cdot 11 = 2x^2 + 22x + x +\)
\(+ 11 = 2x^2 + 23x + 11 \). Получаем уравнение: \( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11 \).

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону: \( x^2 + 10x + 25 — 2x^2 — 23x — 11 = 0 \). Упростим: \( -x^2 — 13x + 14 = 0 \). Умножим на \(-1\), чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным: \( x^2 + 13x — 14 = 0 \). Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \( D = 13^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 169 + 56 = 225 \). Корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \). Тогда корни уравнения: \( x_1 = \frac{-13 — 15}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14 \), \( x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \).

2) Проверим значение \( x = -14 \). Подставим его в выражения для членов прогрессии. Первый член: \( b_1 = 2 \cdot (-14) + 1 = -28 + 1 = -27 \). Второй член: \( b_2 = -14 + 5 = -9 \). Третий член: \( b_3 = -14 + 11 = -3 \). Проверяем условие геометрической прогрессии: \( b_2^2 = (-9)^2 = 81 \), \( b_1 \cdot b_3 = (-27) \cdot (-3) = 81 \). Условие выполняется, значит, при \( x = -14 \) члены прогрессии равны \(-27, -9, -3\).

3) Теперь проверим значение \( x = 1 \). Подставим его в выражения для членов прогрессии. Первый член: \( b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \). Второй член: \( b_2 = 1 + 5 = 6 \). Третий член: \( b_3 = 1 + 11 = 12 \). Проверяем условие геометрической прогрессии: \( b_2^2 = 6^2 = 36 \), \( b_1 \cdot b_3 = 3 \cdot 12 = 36 \). Условие также выполняется, значит, при \( x = 1 \) члены прогрессии равны \(3, 6, 12\).

Ответ: если \( x = -14 \), то члены прогрессии \(-27, -9, -3\); если \( x = 1 \), то члены прогрессии \(3, 6, 12\).