ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x + 6\), \(x + 2\) и \(3x — 4\) являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) В геометрической прогрессии: \( b_2 = b_1 \cdot b_3 \); \( (x+2)^2 = (x+6)(3x-4) \); \( x^2 + 4x + 4 = 3x^2 — 4x + 18x — 24 \); \( 2x^2 + 10x — 28 = 0 \); \( \div 2 \); \( x^2 + 5x — 14 = 0 \); \( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), тогда: \( x_1 = \frac{-5-9}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-5+9}{2} = 2 \);

2) Если \( x = -7 \), тогда: \( b_1 = -7 + 6 = -1 \); \( b_2 = -7 + 2 = -5 \); \( b_3 = 3 \cdot (-7) — 4 = -25 \);

3) Если \( x = 2 \), тогда: \( b_1 = 2 + 6 = 8 \); \( b_2 = 2 + 2 = 4 \); \( b_3 = 3 \cdot 2 — 4 = 2 \);

Ответ: если \( x = -7 \), то \( -1, -5, -25 \);
если \( x = 2 \), то \( 8, 4, 2 \).

1) Дана геометрическая прогрессия, где первые три члена заданы как \( b_1 = x + 6 \), \( b_2 = x + 2 \), \( b_3 = 3x — 4 \). Для геометрической прогрессии выполняется условие, что квадрат второго члена равен произведению первого и третьего, то есть \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \). Подставим выражения: \( (x + 2)^2 = (x + 6)(3x — 4) \). Раскроем скобки слева: \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \). Теперь раскроем скобки справа: \( (x + 6)(3x — 4) = 3x^2 — 4x + 18x — 24 = 3x^2 + 14x — 24 \). Получаем уравнение: \( x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x — 24 \). Приведем все члены к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + 4x + 4 — 3x^2 — 14x + 24 = 0 \), что упрощается до \( -2x^2 — 10x + 28 = 0 \). Умножим уравнение на \(-1\), чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным: \( 2x^2 + 10x — 28 = 0 \). Разделим все члены на 2 для упрощения: \( x^2 + 5x — 14 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \). Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \( x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Таким образом, возможные значения \( x \) равны \(-7\) и \(2\).

2) Проверим первый случай, когда \( x = -7 \). Подставим это значение в выражения для членов прогрессии. Первый член: \( b_1 = x + 6 = -7 + 6 = -1 \). Второй член: \( b_2 = x + 2 = -7 + 2 = -5 \). Третий член: \( b_3 = 3x — 4 = 3 \cdot (-7) — 4 = -21 — 4 = -25 \). Проверим условие геометрической прогрессии: \( b_2^2 = (-5)^2 = 25 \), \( b_1 \cdot b_3 = (-1) \cdot (-25) = 25 \). Условие выполняется, значит, при \( x = -7 \) члены прогрессии равны \(-1\), \(-5\), \(-25\).

3) Теперь проверим второй случай, когда \( x = 2 \). Подставим значение в выражения. Первый член: \( b_1 = x + 6 = 2 + 6 = 8 \). Второй член: \( b_2 = x + 2 = 2 + 2 = 4 \). Третий член: \( b_3 = 3x — 4 = 3 \cdot 2 — 4 = 6 — 4 = 2 \). Проверим условие геометрической прогрессии: \( b_2^2 = 4^2 = 16 \), \( b_1 \cdot b_3 = 8 \cdot 2 = 16 \). Условие также выполняется, значит, при \( x = 2 \) члены прогрессии равны \(8\), \(4\), \(2\).

Ответ: если \( x = -7 \), то члены прогрессии \( -1, -5, -25 \); если \( x = 2 \), то члены прогрессии \( 8, 4, 2 \).