ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите геометрическую прогрессию, содержащую шесть членов, если сумма трёх первых её членов равна \(168\), а сумма трёх последних равна \(21\).

1) Первое уравнение: \( b_1 + b_2 + b_3 = 168 \); \( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 168 \); \( b_1(1 + q + q^2) = 168 \); \( b_1 = \frac{168}{1 + q + q^2} \)

2) Второе уравнение: \( b_4 + b_5 + b_6 = 21 \); \( b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^4 + b_1 \cdot q^5 = 21 \); \( b_1(1 + q + q^2) \cdot q^3 = 21 \); \( 168 \cdot q^3 = 21 \); \( q^3 = \frac{21}{168} = \frac{1}{8} \); \( q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \)

3) Члены прогрессии: \( b_1 = \frac{168}{1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{168}{1 + 0.5 + 0.25} = \frac{168}{1.75} = 96 \); \( b_2 = b_1 \cdot q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \); \( b_3 = b_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \); \( b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \); \( b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \); \( b_6 = b_5 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \)

Ответ: 96; 48; 24; 12; 6; 3.

1) Рассмотрим первое уравнение, связанное с суммой первых трех членов геометрической прогрессии. У нас дано, что \( b_1 + b_2 + b_3 = 168 \). Поскольку это геометрическая прогрессия, каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \). Таким образом, \( b_2 = b_1 \cdot q \), а \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \). Подставим эти выражения в уравнение: \( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 168 \). Вынесем \( b_1 \) за скобки: \( b_1 (1 + q + q^2) = 168 \). Отсюда можно выразить первый член прогрессии как \( b_1 = \frac{168}{1 + q + q^2} \). Это выражение будет использовано далее для нахождения числового значения \( b_1 \), после того как мы определим \( q \).

2) Перейдем ко второму уравнению, которое описывает сумму следующих трех членов прогрессии: \( b_4 + b_5 + b_6 = 21 \). В терминах геометрической прогрессии это можно записать как \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \), \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \). Подставим эти выражения в уравнение: \( b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^4 + b_1 \cdot q^5 = 21 \). Вынесем \( b_1 \) и \( q^3 \) за скобки: \( b_1 \cdot q^3 (1 + q + q^2) = 21 \). Заметим, что выражение \( b_1 (1 + q + q^2) \) уже известно из первого уравнения и равно 168. Подставим это значение: \( 168 \cdot q^3 = 21 \). Теперь решим уравнение относительно \( q^3 \): \( q^3 = \frac{21}{168} = \frac{1}{8} \). Чтобы найти \( q \), возьмем кубический корень из обеих частей: \( q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \). Таким образом, знаменатель прогрессии равен \( \frac{1}{2} \).

3) Теперь, когда у нас есть значение \( q = \frac{1}{2} \), можно найти все члены прогрессии. Начнем с первого члена \( b_1 \). Используем выражение из первого уравнения: \( b_1 = \frac{168}{1 + q + q^2} \). Подставим \( q = \frac{1}{2} \): \( 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + 0.5 + 0.25 = 1.75 \). Тогда \( b_1 = \frac{168}{1.75} = 96 \). Далее находим последующие члены, умножая каждый предыдущий на \( q = \frac{1}{2} \): \( b_2 = b_1 \cdot q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \); \( b_3 = b_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \); \( b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \); \( b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \); \( b_6 = b_5 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \). Таким образом, мы получили все шесть членов прогрессии.

Ответ: 96; 48; 24; 12; 6; 3.