ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна \(21\). Если к этим числам прибавить соответственно \(2, 3\) и \(9\), то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Дана арифметическая прогрессия:
\( a_1 + a_2 + a_3 = 21 \); \( a_1 + a_3 = 21 — a_2 \);
1) В арифметической прогрессии:
\( a_2 = a_1 + a_3 \); \( 2a_2 = 21 — a_2 \); \( 3a_2 = 21 \); \( a_2 = 7 \);
2) Остальные члены прогрессии: \( a_1 = a_2 — d = 7 — d \); \( a_3 = a_2 + d = 7 + d \);
3) Геометрическая прогрессия: \( b_1 = a_1 + 2 = 7 — d + 2 = 9 — d \); \( b_2 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10 \); \( b_3 = a_3 + 9 = 7 + d + 9 = 16 + d \);
4) В геометрической прогрессии: \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \); \( 10^2 = (9 — d)(16 + d) \); \( 100 = 144 + 9d — 16d — d^2 \); \( d^2 + 7d — 44 = 0 \); \( D = 7^2 + 4 \cdot 44 = 49 + 176 = 225 \), тогда: \( d_1 = \frac{-7 — 15}{2} = -11 \) и \( d_2 = \frac{-7 + 15}{2} = 4 \); \( a_{1,1} = 7 — (-11) = 18 \) и \( a_{1,2} = 7 — 4 = 3 \); \( a_{3,1} = 7 + (-11) = -4 \) и \( a_{3,2} = 7 + 4 = 11 \);
Ответ: 3; 7; 11.

1) В арифметической прогрессии дано, что сумма трех членов равна 21, то есть \( a_1 + a_2 + a_3 = 21 \). Также известно, что \( a_1 + a_3 = 21 — a_2 \). Поскольку в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна, можно выразить \( a_1 + a_3 \) как \( 2a_2 \), так как \( a_2 \) является средним членом. Подставим это в уравнение: \( 2a_2 = 21 — a_2 \). Решаем уравнение: \( 2a_2 + a_2 = 21 \), то есть \( 3a_2 = 21 \), откуда \( a_2 = 7 \). Таким образом, второй член прогрессии равен 7.

2) Теперь определим остальные члены арифметической прогрессии. Поскольку разность между соседними членами равна \( d \), то \( a_1 = a_2 — d = 7 — d \), а \( a_3 = a_2 + d = 7 + d \). Проверим сумму: \( a_1 + a_2 + a_3 = (7 — d) + 7 + (7 + d) = 21 \), что совпадает с условием, так как \( d \) сокращается. Значит, выражения для \( a_1 \) и \( a_3 \) верны.

3) Перейдем к геометрической прогрессии, которая связана с арифметической. Дано, что \( b_1 = a_1 + 2 = (7 — d) + 2 = 9 — d \), \( b_2 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10 \), и \( b_3 = a_3 + 9 = (7 + d) + 9 = 16 + d \). Таким образом, члены геометрической прогрессии выражены через \( d \), и теперь нужно найти его значение.

4) В геометрической прогрессии выполняется условие \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \). Подставим значения: \( 10^2 = (9 — d)(16 + d) \), то есть \( 100 = (9 — d)(16 + d) \). Раскроем скобки: \( (9 — d)(16 + d) = 9 \cdot 16 + 9 \cdot d — d \cdot 16 — d^2 = 144 + 9d — 16d — d^2=\)
\( = 144 — 7d — d^2 \). Получаем уравнение: \( 100 = 144 — 7d — d^2 \). Перенесем все члены в одну сторону: \( d^2 + 7d — 44 = 0 \). Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант равен \( D = 7^2 + 4 \cdot 44 = 49 + 176 = 225 \). Корни уравнения: \( d = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-7 \pm 15}{2} \). Таким образом, \( d_1 = \frac{-7 — 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \) и \( d_2 = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4 \). Теперь вычислим члены арифметической прогрессии для каждого значения \( d \). Для \( d = -11 \): \( a_1 = 7 — (-11) = 18 \), \( a_3 = 7 + (-11) = -4 \). Для \( d = 4 \): \( a_1 = 7 — 4 = 3 \), \( a_3 = 7 + 4 = 11 \). Проверим геометрическую прогрессию для \( d = 4 \): \( b_1 = 9 — 4 = 5 \), \( b_2 = 10 \), \( b_3 = 16 + 4 = 20 \), и \( b_2^2 = 10^2 = 100 \), \( b_1 \cdot b_3 = 5 \cdot 20 = 100 \), что совпадает. Для \( d = -11 \): \( b_1 = 9 — (-11) = 20 \), \( b_2 = 10 \), \( b_3 = 16 + (-11) = 5 \), и \( b_2^2 = 100 \), \( b_1 \cdot b_3 = 20 \cdot 5 = 100 \), что также совпадает. Однако в ответе указаны значения 3, 7, 11, что соответствует \( d = 4 \).

Ответ: 3; 7; 11.