ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна \(30\). Если из первого числа вычесть \(5\), из второго вычесть \(4\), а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа

1) Дана арифметическая прогрессия: \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\); \(a_1 + a_3 = 30 — a_2\);
В арифметической прогрессии: \(a_2 = a_1 + d\); \(a_3 = a_2 + d\);
\(2a_2 = 30 — a_2\); \(3a_2 = 30\); \(a_2 = 10\);

2) Остальные члены прогрессии: \(a_1 = a_2 — d = 10 — d\); \(a_3 = a_2 + d = 10 + d\);

3) Геометрическая прогрессия: \(b_1 = a_1 — 5 = 10 — d — 5 = 5 — d\); \(b_2 = a_2 — 4 = 10 — 4 = 6\); \(b_3 = a_3 = 10 + d\);

4) В геометрической прогрессии: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\); \(6^2 = (5 — d)(10 + d)\); \(36 = 50 + 5d — 10d — d^2\); \(d^2 + 5d — 14 = 0\);
\(D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81\), тогда: \(d_1 = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) и \(d_2 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\);
\(a_{1,1} = 10 — (-7) = 17\) и \(a_{1,2} = 10 — 2 = 8\);
\(a_{3,1} = 10 + (-7) = 3\) и \(a_{3,2} = 10 + 2 = 12\);

Ответ: \(17, 10, 3\) или \(8, 10, 12\).

1) Дана арифметическая прогрессия, для которой известно, что сумма первых трех членов равна 30, то есть \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\). Также дано условие, что сумма первого и третьего членов равна разности 30 и второго члена, то есть \(a_1 + a_3 = 30 — a_2\). Поскольку это арифметическая прогрессия, каждый последующий член отличается от предыдущего на постоянную разность \(d\), значит \(a_2 = a_1 + d\) и \(a_3 = a_2 + d\). Подставим выражение для \(a_1 + a_3\) через \(a_2\): из условия \(a_1 + a_3 = 30 — a_2\), а так как \(a_1 + a_3 = (a_2 — d) + (a_2 + d) = 2a_2\), получаем уравнение \(2a_2 = 30 — a_2\). Решим его: \(2a_2 + a_2 = 30\), то есть \(3a_2 = 30\), откуда \(a_2 = 10\). Таким образом, второй член прогрессии равен 10.

2) Теперь определим остальные члены арифметической прогрессии. Первый член \(a_1\) можно выразить как \(a_1 = a_2 — d = 10 — d\), а третий член \(a_3 = a_2 + d = 10 + d\). Эти выражения пока остаются в зависимости от разности \(d\), которую мы определим позже.

3) Далее рассматривается геометрическая прогрессия, члены которой связаны с членами арифметической прогрессии. Первый член геометрической прогрессии \(b_1 = a_1 — 5 = (10 — d) — 5 = 5 — d\), второй член \(b_2 = a_2 — 4 = 10 — 4 = 6\), а третий член \(b_3 = a_3 = 10 + d\). Таким образом, мы имеем три члена геометрической прогрессии: \(b_1 = 5 — d\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 10 + d\).

4) Для геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов, то есть \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим значения: \(6^2 = (5 — d)(10 + d)\), что равно \(36 = 50 + 5d — 10d — d^2\). Упростим выражение: \(36 = 50 — 5d — d^2\), перенесем все члены в одну сторону: \(d^2 + 5d — 50 + 36 = 0\), то есть \(d^2 + 5d — 14 = 0\). Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 5^2 + 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 + 56 = 81\). Корни уравнения: \(d_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) и \(d_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Таким образом, возможные значения разности \(d\) равны \(-7\) и \(2\). Теперь определим члены арифметической прогрессии для каждого значения \(d\). Для \(d = -7\): \(a_1 = 10 — (-7) = 17\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 10 + (-7) = 3\). Для \(d = 2\): \(a_1 = 10 — 2 = 8\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 10 + 2 = 12\). Ответ: \(17, 10, 3\) или \(8, 10, 12\).