ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна \(65\). Если из первого из этих чисел вычесть \(1\), второе оставить без изменений, а из третьего вычесть \(19\), то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_1 + b_2 + b_3 = 65 \); \( b_1 + b_3 = 65 — b_2 \);

1) Арифметическая прогрессия:
\( a_1 = b_1 — 1 \); \( a_2 = b_2 \); \( a_3 = b_3 — 19 \);

2) В арифметической прогрессии:
\( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \)
\( b_2 = \frac{(b_1 — 1) + (b_3 — 19)}{2} \)
\( 2b_2 = 65 — b_2 — 20 \); \( 3b_2 = 45 \); \( b_2 = 15 \);

3) Из уравнения следует: \( b_1 + b_3 = 65 — 15 \); \( b_1 + b_3 = 50 \);
\( b_1 = b_2 \cdot q \); \( b_3 = b_2 \cdot q^2 \);
\( b_1 + b_3 = b_2 \cdot q + b_2 \cdot q^2 = 50 \);
\( 15q + 15q^2 = 50q \);
\( 15q^2 — 50q + 15 = 0 \); \( :5 \); \( 3q^2 — 10q + 3 = 0 \);
\( D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \), тогда:
\( q_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \);
\( b_{1,1} = 15 \cdot 3 = 45 \) и \( b_{1,2} = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5 \);
\( b_{3,1} = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5 \) и \( b_{3,2} = 15 \cdot 3 = 45 \);

Ответ: \( 5, 15, 45 \) или \( 45, 15, 5 \).

Дана геометрическая прогрессия, в которой выполняется условие \( b_1 + b_2 + b_3 = 65 \), а также \( b_1 + b_3 = 65 — b_2 \). Наша задача — найти значения членов прогрессии \( b_1, b_2, b_3 \), используя дополнительные условия, связанные с арифметической прогрессией, и решить уравнение для нахождения всех возможных значений.

1) Определим арифметическую прогрессию на основе членов геометрической прогрессии. Согласно условию, члены арифметической прогрессии задаются как \( a_1 = b_1 — 1 \), \( a_2 = b_2 \), \( a_3 = b_3 — 19 \). Это означает, что мы преобразуем члены геометрической прогрессии с помощью данных операций для получения членов арифметической прогрессии.

2) В арифметической прогрессии выполняется свойство, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних членов, то есть \( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \). Подставим выражения для \( a_1 \), \( a_2 \) и \( a_3 \): \( b_2 = \frac{(b_1 — 1) + (b_3 — 19)}{2} \). Упростим это выражение: \( b_2 = \frac{b_1 + b_3 — 20}{2} \), что эквивалентно \( 2b_2 = b_1 + b_3 — 20 \). Теперь используем условие из геометрической прогрессии \( b_1 + b_3 = 65 — b_2 \), подставим его в полученное уравнение: \( 2b_2 = (65 — b_2) — 20 \), то есть \( 2b_2 = 45 — b_2 \). Перенесем все члены, содержащие \( b_2 \), в одну сторону: \( 2b_2 + b_2 = 45 \), что дает \( 3b_2 = 45 \), следовательно, \( b_2 = 15 \). Таким образом, мы нашли значение второго члена геометрической прогрессии.

3) Теперь, зная \( b_2 = 15 \), найдем \( b_1 \) и \( b_3 \). Из условия \( b_1 + b_3 = 65 — b_2 \) получаем \( b_1 + b_3 = 65 — 15 = 50 \). Поскольку это геометрическая прогрессия, каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \), то есть \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \). Выразим \( b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{15}{q} \), а \( b_3 = b_2 \cdot q = 15q \). Подставим эти выражения в уравнение \( b_1 + b_3 = 50 \): \( \frac{15}{q} + 15q = 50 \). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на \( q \): \( 15 + 15q^2 = 50q \). Перенесем все члены в одну сторону: \( 15q^2 — 50q + 15 = 0 \). Для упрощения разделим уравнение на 5: \( 3q^2 — 10q + 3 = 0 \). Теперь вычислим дискриминант: \( D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \). Корни уравнения находятся по формуле \( q = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6} \). Таким образом, \( q_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \). Рассмотрим оба значения \( q \). Если \( q = 3 \), то \( b_1 = \frac{15}{3} = 5 \), а \( b_3 = 15 \cdot 3 = 45 \). Если \( q = \frac{1}{3} \), то \( b_1 = \frac{15}{\frac{1}{3}} = 15 \cdot 3 = 45 \), а \( b_3 = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5 \). Таким образом, получаем две возможные последовательности членов прогрессии.

Ответ: возможные значения членов геометрической прогрессии — \( 5, 15, 45 \) или \( 45, 15, 5 \).