ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите четыре числа, из которых первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, причём сумма крайних чисел равна \(14\), а сумма средних равна \(12\).

1) В арифметической прогрессии: \( a_2 + a_4 = 2a_3 \)

2) Сумма средних чисел: \( a_2 + a_3 = 12 \); \( a_2 + a_3 + a_4 = 12 + a_4 \); \( 2a_1 + a_2 + a_4 = 24 \); \( a_4 = 24 — 3a_2 \); \( a_2 + (24 — 3a_2) = 12 — a_2 \)

3) Сумма крайних чисел: \( a_1 + a_4 = 14 \); \( a_1 + 24 — 3a_2 = 14 \); \( a_1 = 3a_2 — 10 \)

4) В геометрической прогрессии: \( a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \); \( a_2^2 = (3a_2 — 10)(12 — a_2) \); \( a_2^2 = 36a_2 — 3a_2^2 — 120 + 10a_2 \); \( 4a_2^2 — 46a_2 + 120 = 0 \); делим на 2: \( 2a_2^2 — 23a_2 + 60 = 0 \); \( D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 — 480 = 49 \), тогда: \( a_{2,1} = \frac{23 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \); \( a_{2,2} = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \); \( a_{1,1} = 3 \cdot 4 — 10 = 2 \); \( a_{1,2} = 3 \cdot \frac{15}{2} — 10 = \frac{45}{2} — 10 = \frac{25}{2} \); \( a_{3,1} = 12 — 4 = 8 \); \( a_{3,2} = 12 — \frac{15}{2} = \frac{9}{2} \); \( a_{4,1} = 24 — 3 \cdot 4 = 12 \); \( a_{4,2} = 24 — 3 \cdot \frac{15}{2} = 24 — \frac{45}{2} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( 2, 4, 8, 12 \) или \( \frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2} \)

1) Рассмотрим условие арифметической прогрессии. Для последовательности \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) выполняется свойство арифметической прогрессии, согласно которому сумма двух элементов, равноудалённых от середины, равна удвоенному среднему элементу. Таким образом, \( a_2 + a_4 = 2a_3 \). Это уравнение будет использовано для дальнейших вычислений.

2) Перейдём к сумме средних чисел. Дано, что \( a_2 + a_3 = 12 \). Также из условия задачи можно вывести, что сумма трёх элементов \( a_2 + a_3 + a_4 = 12 + a_4 \). Кроме того, известно, что \( 2a_1 + a_2 + a_4 = 24 \). Используя выражение для \( a_4 \) из арифметической прогрессии, подставим \( a_4 = 24 — 3a_2 \), что следует из преобразований суммы \( 2a_1 + a_2 + a_4 \). Тогда \( a_2 + (24 — 3a_2) = 12 — a_2 \), что позволяет нам упростить выражение и продолжить решение.

3) Теперь рассмотрим сумму крайних чисел. Дано, что \( a_1 + a_4 = 14 \). Подставляя ранее найденное выражение \( a_4 = 24 — 3a_2 \) в это уравнение, получаем \( a_1 + 24 — 3a_2 = 14 \). Отсюда следует, что \( a_1 = 3a_2 — 10 \). Это выражение для первого члена последовательности будет использовано далее.

4) Перейдём к условию геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии выполняется свойство \( a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \). Подставим выражения \( a_1 = 3a_2 — 10 \) и \( a_3 = 12 — a_2 \) (из условия \( a_2 + a_3 = 12 \)) в это уравнение. Получаем \( a_2^2 = (3a_2 — 10)(12 — a_2) \). Раскроем скобки: \( a_2^2 = 36a_2 — 3a_2^2 — 120 + 10a_2 \). Приведём подобные члены: \( a_2^2 — 36a_2 + 3a_2^2 — 10a_2 + 120 = 0 \), что даёт уравнение \( 4a_2^2 — 46a_2 + 120 = 0 \). Для упрощения разделим все члены на 2: \( 2a_2^2 — 23a_2 + 60 = 0 \). Теперь вычислим дискриминант: \( D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 — 480 = 49 \). Корни уравнения находятся по формуле: \( a_{2,1} = \frac{23 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \) и \( a_{2,2} = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \). Для каждого значения \( a_2 \) найдём остальные члены последовательности. Если \( a_2 = 4 \), то \( a_1 = 3 \cdot 4 — 10 = 2 \), \( a_3 = 12 — 4 = 8 \), \( a_4 = 24 — 3 \cdot 4 = 12 \). Если \( a_2 = \frac{15}{2} \), то \( a_1 = 3 \cdot \frac{15}{2} — 10 = \frac{45}{2} — 10 = \frac{25}{2} \), \( a_3 = 12 — \frac{15}{2} = \frac{24}{2} — \frac{15}{2} = \frac{9}{2} \), \( a_4 = 24 — 3 \cdot \frac{15}{2} = 24 — \frac{45}{2} = \frac{48}{2} — \frac{45}{2} = \frac{3}{2} \).

Ответ представлен в виде двух возможных последовательностей, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Для наглядности приведём их в таблице:

Таким образом, ответ: \( 2, 4, 8, 12 \) или \( \frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2} \).