ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите четыре числа, образующие арифметическую прогрессию и обладающие таким свойством: если из второго числа вычесть \(2\), а к четвёртому прибавить \(14\), то будет получена геометрическая прогрессия.

1) В арифметической прогрессии:
\( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \) => \( 2a_2 = a_1 + a_3 \)
\( 2a_3 = a_2 + a_4 \) => \( a_1 = 2a_2 — a_3 \), \( a_4 = 2a_3 — a_2 \)

2) Геометрическая прогрессия:
\( b_1 = a_1 = 2a_2 — a_3 \); \( b_2 = a_2 — 2 \); \( b_3 = a_3 \); \( b_4 = a_4 + 14 = 2a_3 — a_2 + 14 \)

3) В геометрической прогрессии:
\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \)
\( (a_2 — 2)^2 = (2a_2 — a_3) \cdot a_3 \)
\( a_2^2 — 4a_2 + 4 = 2a_2 a_3 — a_3^2 \)
\( (a_2 — 2)^2 = (2a_3 — a_2 + 14) \cdot (a_2 — 2) \)
\( a_2^2 — 4a_2 + 4 — 2a_2 a_3 + a_3^2 = 0 \)
\( a_2^2 — 16a_2 + 28 — 2a_2 a_3 + a_3^2 + 4a_3 = 0 \)
\( 12a_2 — 24 — 4a_3 = 0 \)
\( 4a_3 = 12a_2 — 24 \)
\( a_3 = 3a_2 — 6 \)
\( a_1 = 2a_2 — (3a_2 — 6) = 6 — a_2 \)
\( a_4 = 2(3a_2 — 6) — a_2 = 5a_2 — 12 \)

4) Из первого уравнения:
\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \)
\( (a_2 — 2)^2 = (6 — a_2)(3a_2 — 6) \)
\( a_2^2 — 4a_2 + 4 = 18a_2 — 36 — 3a_2^2 + 6a_2 \)
\( 4a_2^2 — 28a_2 + 40 = 0 \) | : 4
\( a_2^2 — 7a_2 + 10 = 0 \)
\( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \)
тогда: \( a_{2,1} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \); \( a_{2,2} = \frac{7 — 3}{2} = 2 \)
\( a_2 = 2 \); \( b_{2,1} = 2 — 2 = 0 \); \( a_2 = 5 \); \( a_1 = 6 — 5 = 1 \); \( a_3 = 3 \cdot 5 — 6 = 9 \); \( a_4 = 5 \cdot 5 — 12 = 13 \)

Ответ: 1; 5; 9; 13.

1) В арифметической прогрессии дано, что каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних членов. Это означает, что для членов прогрессии выполняется условие \( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \), что можно переписать как \( 2a_2 = a_1 + a_3 \). Аналогично, для следующего члена прогрессии справедливо равенство \( 2a_3 = a_2 + a_4 \). Из этих уравнений можно выразить \( a_1 = 2a_2 — a_3 \) и \( a_4 = 2a_3 — a_2 \). Эти выражения позволяют связать все члены прогрессии через \( a_2 \) и \( a_3 \), что будет полезно для дальнейших вычислений.

2) Далее вводится геометрическая прогрессия, члены которой определяются через члены арифметической прогрессии. А именно, задано: \( b_1 = a_1 = 2a_2 — a_3 \), \( b_2 = a_2 — 2 \), \( b_3 = a_3 \), а также \( b_4 = a_4 + 14 = 2a_3 — a_2 + 14 \). Таким образом, члены геометрической прогрессии выражаются через уже известные члены арифметической прогрессии с добавлением некоторых констант.

3) Для геометрической прогрессии известно свойство, что квадрат второго члена равен произведению первого и третьего членов, то есть \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \). Подставляя выражения для \( b_1 \), \( b_2 \) и \( b_3 \), получаем уравнение \( (a_2 — 2)^2 = (2a_2 — a_3) \cdot a_3 \). Раскрывая скобки, это преобразуется в \( a_2^2 — 4a_2 + 4 = 2a_2 a_3 — a_3^2 \). Также учитывается второе условие геометрической прогрессии \( b_2^2 = b_1 \cdot b_4 \), но в данном решении сначала используется \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \). После преобразований и приведения подобных членов получается уравнение \( a_2^2 — 4a_2 + 4 — 2a_2 a_3 + a_3^2 = 0 \). Далее, с учетом всех условий, включая \( b_4 \), уравнение принимает вид \( a_2^2 — 16a_2 + 28 — 2a_2 a_3 + a_3^2 + 4a_3 = 0 \). Упрощая, приходим к \( 12a_2 — 24 — 4a_3 = 0 \), откуда \( 4a_3 = 12a_2 — 24 \), то есть \( a_3 = 3a_2 — 6 \). Теперь можно выразить остальные члены арифметической прогрессии: \( a_1 = 2a_2 — (3a_2 — 6) = 6 — a_2 \) и \( a_4 = 2(3a_2 — 6) — a_2 = 5a_2 — 12 \).

4) Возвращаемся к условию геометрической прогрессии \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \) и подставляем полученные выражения. Получаем уравнение \( (a_2 — 2)^2 = (6 — a_2)(3a_2 — 6) \). Раскрывая скобки, имеем \( a_2^2 — 4a_2 + 4 = 18a_2 — 36 — 3a_2^2 + 6a_2 \). Приводим подобные члены и получаем квадратное уравнение \( 4a_2^2 — 28a_2 + 40 = 0 \). Делим все на 4 для упрощения: \( a_2^2 — 7a_2 + 10 = 0 \). Вычисляем дискриминант \( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9 \). Тогда корни уравнения: \( a_{2,1} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \), \( a_{2,2} = \frac{7 — 3}{2} = 2 \). Проверяем оба значения. Если \( a_2 = 2 \), то \( b_2 = 2 — 2 = 0 \), что может быть нежелательным в геометрической прогрессии (так как дальнейшие члены могут стать нулевыми). Поэтому выбираем \( a_2 = 5 \). Тогда \( a_1 = 6 — 5 = 1 \), \( a_3 = 3 \cdot 5 — 6 = 9 \), \( a_4 = 5 \cdot 5 — 12 = 13 \).

Ответ: 1; 5; 9; 13.