ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) система уравнений
\(
\begin{cases}
ax + y = 2, \\
9x + ay = 6
\end{cases}
\)
имеет бесконечно много решений?

При каких значениях параметра \( a \) система уравнений имеет бесконечно много решений:
\( ax + y = 2 \)
\( 9x + ay = 6 \)

1) Прямые параллельны:
\( 9a = 2 \); \( a^2 = 9 \); \( a = \pm 3 \);

2) Прямые совпадают:
\( y = -ax + 2 \)
\( y = \frac{2}{a}x + 6 \);
\( 2 = 6 \); \( 2a = 6 \);
\( a = 3 \);

Ответ: \( a = 3 \).

Для определения значений параметра \( a \), при которых система уравнений \( ax + y = 2 \) и \( 9x + ay = 6 \) имеет бесконечно много решений, необходимо рассмотреть условия, при которых прямые, заданные этими уравнениями, либо параллельны (и не совпадают), либо совпадают. Система имеет бесконечно много решений только в случае, если прямые совпадают, то есть являются одной и той же прямой.

Приведем уравнения к виду \( y = kx + b \), чтобы определить угловые коэффициенты и свободные члены. Из первого уравнения \( ax + y = 2 \) получаем \( y = -ax + 2 \). Из второго уравнения \( 9x + ay = 6 \) получаем \( y = -\frac{9}{a}x + \frac{6}{a} \), при условии, что \( a \neq 0 \). Таким образом, угловой коэффициент первой прямой равен \( -a \), а второй — \( -\frac{9}{a} \).

1) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, но свободные члены различны. Условие равенства угловых коэффициентов: \( -a = -\frac{9}{a} \). Умножим обе части на \( a \) (при \( a \neq 0 \)): \( -a^2 = -9 \), откуда \( a^2 = 9 \), следовательно, \( a = 3 \) или \( a = -3 \). Теперь проверим свободные члены. Для \( a = 3 \): свободный член первой прямой равен \( 2 \), второй — \( \frac{6}{3} = 2 \), они равны, значит, прямые совпадают, а не просто параллельны. Для \( a = -3 \): свободный член первой прямой равен \( 2 \), второй — \( \frac{6}{-3} = -2 \), они различны, значит, прямые параллельны и не совпадают, то есть решений нет.

2) Прямые совпадают, если равны не только угловые коэффициенты, но и свободные члены. Из условия равенства угловых коэффициентов мы уже нашли \( a = 3 \) или \( a = -3 \). Проверяем свободные члены. Для \( a = 3 \): как уже установлено, свободные члены равны (\( 2 = 2 \)), значит, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений. Для \( a = -3 \): свободные члены не равны (\( 2 \neq -2 \)), значит, прямые параллельны, но не совпадают.

Также рассмотрим случай \( a = 0 \). Если \( a = 0 \), то первое уравнение становится \( y = 2 \), а второе — \( 9x = 6 \), то есть \( x = \frac{2}{3} \). Это две перпендикулярные прямые (горизонтальная и вертикальная), которые пересекаются в одной точке \( \left( \frac{2}{3}, 2 \right) \), значит, бесконечно много решений быть не может.

Таким образом, система имеет бесконечно много решений только при \( a = 3 \), когда прямые совпадают.

Ответ: \( a = 3 \).