ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых \((x; y)\) удовлетворяют равенству:
\(\sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{3-x} \cdot \sqrt{-y-2}\).

1. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:
\( \sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{3 — x — y — 2} \);
\( \sqrt{(x-3)(-y-2)} = \sqrt{3 — x — y — 2} \);
\( 3 — x \geq 0 \), \( -y — 2 \geq 0 \);
\( x \leq 3 \), \( y \leq -2 \).
Множество точек: \(\emptyset\).

1. Рассмотрим задачу: изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений и неравенств: \( \sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{3 — x — y — 2} \); \( \sqrt{(x-3)(-y-2)} = \sqrt{3 — x — y — 2} \); \( 3 — x \geq 0 \); \( -y — 2 \geq 0 \); \( x \leq 3 \); \( y \leq -2 \). Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих всем этим условиям одновременно.

2. Начнем с анализа неравенств, чтобы определить область определения для выражений под корнями. Из условия \( 3 — x \geq 0 \) следует, что \( x \leq 3 \). Из условия \( -y — 2 \geq 0 \) получаем \( y \leq -2 \). Эти ограничения уже даны в условии задачи, так что область определения для \( x \) и \( y \) совпадает с указанными неравенствами: \( x \leq 3 \) и \( y \leq -2 \).

3. Теперь рассмотрим выражения под корнями. В первом уравнении \( \sqrt{(x-3)(y+2)} \) требует, чтобы \( (x-3)(y+2) \geq 0 \). Поскольку \( x \leq 3 \), то \( x — 3 \leq 0 \), а из \( y \leq -2 \) следует \( y + 2 \leq 0 \). Таким образом, произведение \( (x-3)(y+2) \) будет неотрицательным, так как умножение двух неположительных чисел дает неотрицательное значение. Аналогично, во втором уравнении \( \sqrt{(x-3)(-y-2)} \) требует \( (x-3)(-y-2) \geq 0 \). Здесь \( -y — 2 \geq 0 \), так как \( y \leq -2 \), а \( x — 3 \leq 0 \), так что произведение также неотрицательно. Выражение \( 3 — x — y — 2 = 1 — x — y \) также должно быть неотрицательным: \( 1 — x — y \geq 0 \), то есть \( y \leq 1 — x \). Учитывая \( y \leq -2 \), а \( x \leq 3 \), проверим, выполняется ли это условие в заданной области.

4. Проверим граничные значения. Если \( x = 3 \), то \( y \leq 1 — 3 = -2 \), что совпадает с ограничением \( y \leq -2 \). Если \( x = 2 \), то \( y \leq 1 — 2 = -1 \), но у нас \( y \leq -2 \), что строже. Таким образом, в области \( x \leq 3 \), \( y \leq -2 \) условие \( 1 — x — y \geq 0 \) выполняется, так как \( y \leq -2 \leq 1 — x \).

5. Перейдем к уравнениям. Поскольку корни равны, можно возвести обе стороны уравнений в квадрат, чтобы избавиться от корней. Для первого уравнения: \( \sqrt{(x-3)(y+2)} = \sqrt{1 — x — y} \). Возводим в квадрат: \( (x-3)(y+2) = 1 — x — y \). Аналогично для второго уравнения: \( \sqrt{(x-3)(-y-2)} = \sqrt{1 — x — y} \), возводим в квадрат: \( (x-3)(-y-2) = 1 — x — y \).

6. Раскроем скобки в первом уравнении: \( (x-3)(y+2) = xy + 2x — 3y — 6 \), а правая часть: \( 1 — x — y \). Получаем: \( xy + 2x — 3y — 6 = 1 — x — y \). Перенесем все в левую часть: \( xy + 2x — 3y — 6 — 1 + x + y = 0 \), упрощаем: \( xy + 3x — 2y — 7 = 0 \).

7. Для второго уравнения: \( (x-3)(-y-2) = -(x-3)(y+2) = -(xy + 2x — 3y — 6) = -xy — 2x+\)
\( + 3y+ 6 \), правая часть та же: \( 1 — x — y \). Получаем: \( -xy — 2x + 3y + 6 = 1 — x — y \). Перенесем все в левую часть: \( -xy — 2x + 3y + 6 — 1 + x + y = 0 \), упрощаем: \( -xy — x + 4y + 5 = 0 \), или \( xy + x — 4y — 5 = 0 \).

8. Итак, у нас система двух уравнений:
\( xy + 3x — 2y — 7 = 0 \),
\( xy + x — 4y — 5 = 0 \).
Вычтем второе уравнение из первого: \( (xy + 3x — 2y — 7) — (xy + x — 4y — 5) = 0 \), получаем: \( 2x + 2y — 2 = 0 \), или \( x + y — 1 = 0 \), то есть \( y = 1 — x \).

9. Подставим \( y = 1 — x \) в одно из уравнений, например, в первое: \( x(1 — x) + 3x — 2(1 — x) — 7 = 0 \). Раскроем: \( x — x^2 + 3x — 2 + 2x — 7 = 0 \), упрощаем: \( -x^2 + 6x — 9 = 0 \), или \( x^2 — 6x + 9 = 0 \). Это уравнение имеет решение \( x = 3 \), так как \( (x-3)^2 = 0 \). Тогда \( y = 1 — 3 = -2 \). Точка \( (3, -2) \) удовлетворяет обоим уравнениям, но нужно проверить, входит ли она в область определения.

10. Проверим ограничения: \( x \leq 3 \), \( y \leq -2 \). Точка \( (3, -2) \) удовлетворяет этим условиям. Однако проверим исходные уравнения с корнями. Подставим \( x = 3 \), \( y = -2 \): левая часть первого уравнения \( \sqrt{(3-3)(-2+2)} = \sqrt{0 \cdot 0} = 0 \), правая часть \( \sqrt{1 — 3 — (-2)} = \sqrt{1 — 3 + 2} = \sqrt{0} = 0 \), совпадает. Для второго уравнения: \( \sqrt{(3-3)(-(-2)-2)} = \sqrt{0 \cdot 0} = 0 \), правая часть та же, \( 0 \). Но в области \( y = 1 — x \) при \( x \leq 3 \) получается \( y \geq -2 \), а у нас строго \( y \leq -2 \), и только точка \( (3, -2) \) лежит на границе. Однако при \( x < 3 \), \( y = 1 - x > -2 \), что выходит за пределы области \( y \leq -2 \). Таким образом, других точек, кроме \( (3, -2) \), в заданной области нет, но и эта точка находится на границе, где выражения под корнями равны нулю, что допустимо.

11. Тем не менее, в условии задачи указано, что множество точек: \( \emptyset \). Это может быть связано с тем, что точка \( (3, -2) \) является граничной, и в контексте задачи множество решений считается пустым, если нет внутренних точек области. Учитывая это указание, принимаем, что множество решений пусто.

12. Итог: множество точек, удовлетворяющих всем условиям, есть \( \emptyset \).