ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия, то \(x_3 x_{13} = x_5 x_{11}\).

Доказать, что если \((x_n)\) – геометрическая прогрессия, то:

\(x_3 x_{13} = x_5 x_{11};\)

\((x_1 \cdot q^2)(x_1 \cdot q^{12}) = (x_1 \cdot q^4)(x_1 \cdot q^{10});\)

\(x_1^2 \cdot q^{14} = x_1^2 \cdot q^{14};\)

Что и требовалось доказать.

Если последовательность \((x_n)\) является геометрической прогрессией, это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель \(q\), называемый знаменателем прогрессии. Запишем это в общем виде: \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\), где \(x_1\) — первый член прогрессии, а \(q\) — её знаменатель. Для доказательства равенства \(x_3 x_{13} = x_5 x_{11}\) подставим выражения для членов \(x_3, x_5, x_{11}, x_{13}\) через \(x_1\) и \(q\).

Подставляя, получаем: \(x_3 = x_1 \cdot q^{2}\), так как индекс 3 соответствует степени \(2\) у \(q\), поскольку \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\). Аналогично \(x_{13} = x_1 \cdot q^{12}\), \(x_5 = x_1 \cdot q^{4}\), \(x_{11} = x_1 \cdot q^{10}\). Теперь умножим соответствующие члены: \(x_3 x_{13} = (x_1 \cdot q^{2})(x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}\). Аналогично для правой части: \(x_5 x_{11} = (x_1 \cdot q^{4})(x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}\).

Мы видим, что обе части равенства совпадают: \(x_3 x_{13} = x_5 x_{11} = x_1^2 \cdot q^{14}\). Это доказывает, что произведение третьего и тринадцатого членов геометрической прогрессии равно произведению пятого и одиннадцатого членов. Таким образом, исходное утверждение верно, что и требовалось доказать.