ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия, то \(x_3 x_{13} = x_5 x_{11}\).

Доказать, что если \((x_n)\) — геометрическая прогрессия, то:
\(x_3 x_{13} = x_5 x_{11}\);
\((x_1 \cdot q^2)(x_1 \cdot q^{12}) = (x_1 \cdot q^4)(x_1 \cdot q^{10})\);
\(x_2 \cdot q^{14} = x_2 \cdot q^{14}\).

Что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждений о геометрической прогрессии \((x_n)\) предположим, что первый член прогрессии равен \(x_1\), а знаменатель прогрессии (общий множитель) равен \(q\). Тогда общий член геометрической прогрессии можно записать как \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\). Используя это выражение, последовательно докажем каждое из заданных равенств.

1. Докажем, что \(x_3 x_{13} = x_5 x_{11}\).
Выразим каждый член прогрессии через первый член и знаменатель: \(x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2\), \(x_{13} = x_1 \cdot q^{13-1} = x_1 \cdot q^{12}\), \(x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4\), \(x_{11} = x_1 \cdot q^{11-1} = x_1 \cdot q^{10}\).
Теперь вычислим левую часть равенства: \(x_3 x_{13} = (x_1 \cdot q^2) \cdot (x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}\).
Аналогично, правая часть: \(x_5 x_{11} = (x_1 \cdot q^4) \cdot (x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}\).
Итак, \(x_3 x_{13} = x_1^2 \cdot q^{14} = x_5 x_{11}\), что доказывает первое равенство.

2. Докажем, что \((x_1 \cdot q^2)(x_1 \cdot q^{12}) = (x_1 \cdot q^4)(x_1 \cdot q^{10})\).
Вычислим левую часть: \((x_1 \cdot q^2) \cdot (x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}\).
Теперь правая часть: \((x_1 \cdot q^4) \cdot (x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}\).
Очевидно, что левая и правая части совпадают: \(x_1^2 \cdot q^{14} = x_1^2 \cdot q^{14}\), что подтверждает второе равенство.

3. Докажем, что \(x_2 \cdot q^{14} = x_2 \cdot q^{14}\).
Это равенство тривиально, так как левая и правая части идентичны. Выразим \(x_2\) через первый член прогрессии: \(x_2 = x_1 \cdot q^{2-1} = x_1 \cdot q\).
Тогда левая часть: \(x_2 \cdot q^{14} = (x_1 \cdot q) \cdot q^{14} = x_1 \cdot q^{1+14} = x_1 \cdot q^{15}\).
Правая часть: \(x_2 \cdot q^{14} = (x_1 \cdot q) \cdot q^{14} = x_1 \cdot q^{1+14} = x_1 \cdot q^{15}\).
Таким образом, обе части равны, что подтверждает третье равенство.

Все три утверждения доказаны, что и требовалось показать.