ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность \((y_n)\) — геометрическая прогрессия, то \(y_4 y_{21} = y_9 y_{17}\).

Доказать, что если \((y_n)\) — геометрическая прогрессия, то:
\(y_4 y_{21} = y_8 y_{17}\);
\((y_1 \cdot q^3)(y_1 \cdot q^{20}) = (y_1 \cdot q^7)(y_1 \cdot q^{16})\);
\(y_1^2 \cdot q^{23} = y_1^2 \cdot q^{23}\).
Что и требовалось доказать.

Доказать, что если \((y_n)\) — геометрическая прогрессия, то выполняются следующие равенства. Рассмотрим каждое из них по порядку с подробным объяснением.

1. Докажем, что \(y_4 y_{21} = y_8 y_{17}\).
Геометрическая прогрессия определяется как \(y_n = y_1 \cdot q^{n-1}\), где \(y_1\) — первый член прогрессии, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Подставим выражения для каждого члена: \(y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 \cdot q^3\), \(y_{21} = y_1 \cdot q^{21-1} = y_1 \cdot q^{20}\), \(y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7\), \(y_{17} = y_1 \cdot q^{17-1} = y_1 \cdot q^{16}\). Теперь вычислим левую часть: \(y_4 \cdot y_{21} = (y_1 \cdot q^3) \cdot (y_1 \cdot q^{20}) = y_1^2 \cdot q^{3+20} = y_1^2 \cdot q^{23}\). Аналогично правая часть: \(y_8 \cdot y_{17} = (y_1 \cdot q^7) \cdot (y_1 \cdot q^{16}) = y_1^2 \cdot q^{7+16} = y_1^2 \cdot q^{23}\). Таким образом, \(y_4 y_{21} = y_8 y_{17} = y_1^2 \cdot q^{23}\), что подтверждает равенство.

2. Докажем, что \((y_1 \cdot q^3)(y_1 \cdot q^{20}) = (y_1 \cdot q^7)(y_1 \cdot q^{16})\).
Раскроем скобки в левой части: \((y_1 \cdot q^3) \cdot (y_1 \cdot q^{20}) = y_1^2 \cdot q^{3+20} = y_1^2 \cdot q^{23}\). Теперь раскроем скобки в правой части: \((y_1 \cdot q^7) \cdot (y_1 \cdot q^{16}) = y_1^2 \cdot q^{7+16} = y_1^2 \cdot q^{23}\). Очевидно, что левая и правая части равны, так как обе равны \(y_1^2 \cdot q^{23}\). Это подтверждает второе равенство.

3. Докажем, что \(y_1^2 \cdot q^{23} = y_1^2 \cdot q^{23}\).
Это тождество, так как левая и правая части выражения идентичны. Для геометрической прогрессии это выражение является тривиальным, поскольку не требует дополнительных вычислений или подстановок. Равенство очевидно выполняется при любых значениях \(y_1\) и \(q\).

Таким образом, все три равенства доказаны на основе свойств геометрической прогрессии. Что и требовалось доказать.