ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите первый член геометрической прогрессии \((c_n)\), если:

1) \(c_4 = \frac{1}{98}\), а знаменатель \(q = \frac{2}{7}\);

2) \(c_6 = 100\), \(c_9 = 100\,000\).

1) Найти первый член геометрической прогрессии, если \( c_4 = 98 \), \( q = \frac{7}{2} \); \( c_4 = c_1 \cdot q^3 \);
\( 98 = c_1 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^3 \); \( 98 = c_1 \cdot \frac{343}{8} \); \( c_1 = 98 \cdot \frac{8}{343} = \frac{784}{343} = \frac{112}{49} = \frac{16}{7} \approx 2.2857 \).
Ответ: \( \frac{16}{7} \).

2) Найти первый член геометрической прогрессии, если \( c_6 = 100 \), \( c_9 = 100000 \); \( c_6 = c_1 \cdot q^5 \), \( c_9 = c_1 \cdot q^8 \); \( \frac{c_9}{c_6} = q^3 \); \( \frac{100000}{100} = 1000 \); \( q^3 = 1000 \); \( q = 10 \);
\( c_1 = \frac{c_6}{q^5} = \frac{100}{10^5} = \frac{100}{100000} = 0.001 \).
Ответ: \( 0.001 \).

1) Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, зная, что \( c_4 = 98 \) и знаменатель прогрессии \( q = \frac{7}{2} \), воспользуемся формулой для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \). Для четвертого члена это будет \( c_4 = c_1 \cdot q^3 \).

Подставим известные значения: \( 98 = c_1 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^3 \). Вычислим \( \left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{7^3}{2^3} = \frac{343}{8} \). Тогда уравнение примет вид: \( 98 = c_1 \cdot \frac{343}{8} \).

Чтобы найти \( c_1 \), умножим обе части уравнения на \( \frac{8}{343} \): \( c_1 = 98 \cdot \frac{8}{343} \). Выполним умножение: \( 98 \cdot 8 = 784 \), а знаменатель остается 343, то есть \( c_1 = \frac{784}{343} \).

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 49 (так как \( 784 \div 49 = 16 \), а \( 343 \div 49 = 7 \)): \( c_1 = \frac{16}{7} \). Для проверки можно вычислить приближенное значение: \( \frac{16}{7} \approx 2.2857 \), что соответствует расчетам в примере.

Ответ: \( \frac{16}{7} \).

2) Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, зная, что \( c_6 = 100 \) и \( c_9 = 100000 \), также воспользуемся формулой \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \). Для шестого и девятого членов это будет: \( c_6 = c_1 \cdot q^5 \) и \( c_9 = c_1 \cdot q^8 \).

Чтобы найти знаменатель прогрессии \( q \), разделим \( c_9 \) на \( c_6 \): \( \frac{c_9}{c_6} = \frac{c_1 \cdot q^8}{c_1 \cdot q^5} = q^{8-5} = q^3 \). Подставим значения: \( \frac{100000}{100} = 1000 \), следовательно, \( q^3 = 1000 \).

Извлечем кубический корень: \( q = \sqrt[3]{1000} = 10 \). Теперь, зная \( q = 10 \), найдем \( c_1 \) из уравнения для \( c_6 \): \( 100 = c_1 \cdot 10^5 \). Тогда \( c_1 = \frac{100}{10^5} = \frac{100}{100000} = 0.001 \).

Для проверки можно подставить \( q = 10 \) и \( c_1 = 0.001 \) в уравнение для \( c_9 \): \( c_9 = 0.001 \cdot 10^8 = 0.001 \cdot 100000000 = 100000 \), что совпадает с условием.

Ответ: \( 0.001 \).