ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Число \(486\) является членом геометрической прогрессии \(2, 6, 18, \ldots\). Найдите номер этого члена.

1) Знаменатель прогрессии:
\( b_1 = 2 \), \( b_2 = 6 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3 \).

2) Номер искомого члена:
\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \); \( 486 = 2 \cdot 3^{n-1} \); \( 3^{n-1} = \frac{486}{2} = 243 \); \( 3^{n-1} = 3^5 \); \( n-1 = 5 \); \( n = 6 \).
Ответ: 6.

1) Знаменатель прогрессии:
Дана геометрическая прогрессия, где первый член \( b_1 = 2 \), а второй член \( b_2 = 6 \). Для нахождения знаменателя прогрессии \( q \) необходимо разделить второй член на первый. Таким образом, \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3 \). Это означает, что каждый последующий член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на 3.

2) Номер искомого члена:
Мы знаем, что общий вид геометрической прогрессии задается формулой \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_n \) — это n-ый член прогрессии, \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии, а \( n \) — номер искомого члена. В данном случае нам известно, что \( b_n = 486 \), \( b_1 = 2 \), \( q = 3 \). Подставим эти значения в формулу: \( 486 = 2 \cdot 3^{n-1} \).

Для упрощения уравнения разделим обе части на 2: \( \frac{486}{2} = 3^{n-1} \), что дает \( 243 = 3^{n-1} \). Теперь нам нужно определить, какая степень числа 3 равна 243. Мы знаем, что \( 3^5 = 243 \), следовательно, \( 3^{n-1} = 3^5 \). Это означает, что показатели степени равны: \( n-1 = 5 \).

Решим уравнение для \( n \): \( n = 5 + 1 = 6 \). Таким образом, искомый член прогрессии с значением 486 является шестым членом последовательности.

Ответ: 6.