ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \((c_n)\), если:
1) \(c_4 = 216\), а знаменатель прогрессии \(q = -3\);
2) \(c_1 = 5\sqrt{5}\); \(c_5 = 125\sqrt{5}\), а знаменатель прогрессии \(q > 0\).

1) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии: \( c_4 = 216 \), \( q = -3 \);
Первый член прогрессии:
\( c_4 = c_1 \cdot q^3 \); \( 216 = c_1 \cdot (-3)^3 \); \( -27c_1 = 216 \); \( c_1 = -8 \);
Сумма шести первых членов:
\( s_6 = \frac{c_1(q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{-8((-3)^6 — 1)}{-3 — 1} = \frac{-8(729 — 1)}{-4} = \frac{-8 \cdot 728}{-4} = 2 \cdot 728 = 1456 \);
Ответ: 1456.

2) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии: \( c_1 = 5\sqrt{5} \), \( c_5 = 125\sqrt{5} \), \( q > 0 \);
Разность прогрессии: \( c_5 = c_1 \cdot q^4 \); \( 125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4 \); \( q^4 = 25 \); \( q = \sqrt{5} \);
Сумма шести первых членов:
\( s_6 = \frac{c_1(q^6 — 1)}{q — 1} = \frac{5\sqrt{5}((\sqrt{5})^6 — 1)}{\sqrt{5} — 1} = \frac{5\sqrt{5}(125 — 1)}{\sqrt{5} — 1} = \frac{5\sqrt{5} \cdot 124 (\sqrt{5} + 1)}{5 — 1} = \frac{5 \cdot 124 (\sqrt{5} + 1)}{4} =\)
\(= 5 \cdot 31 (\sqrt{5} + 5) = 155(5 + \sqrt{5}) \);
Ответ: \( 155(5 + \sqrt{5}) \).

1) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если дано \( c_4 = 216 \) и \( q = -3 \).

Для начала определим первый член прогрессии \( c_1 \). Известно, что для геометрической прогрессии \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \). Для четвертого члена это будет \( c_4 = c_1 \cdot q^3 \). Подставим известные значения: \( 216 = c_1 \cdot (-3)^3 \). Вычислим \( (-3)^3 = -27 \), следовательно, \( 216 = c_1 \cdot (-27) \), откуда \( c_1 = \frac{216}{-27} = -8 \). Первый член прогрессии равен \( c_1 = -8 \).

Теперь найдем сумму шести первых членов прогрессии по формуле суммы: \( s_n = \frac{c_1 (q^n — 1)}{q — 1} \). Для \( n = 6 \) подставим значения: \( s_6 = \frac{-8 \cdot ((-3)^6 — 1)}{-3 — 1} \). Сначала вычислим \( (-3)^6 \). Так как 6 — четное число, \( (-3)^6 = 3^6 = 729 \). Тогда числитель будет \( -8 \cdot (729 — 1) = -8 \cdot 728 \), а знаменатель \( -3 — 1 = -4 \). Итоговая дробь: \( s_6 = \frac{-8 \cdot 728}{-4} \). Сократим на -4: \( \frac{-8}{-4} = 2 \), а \( 728 \) остается, так что \( s_6 = 2 \cdot 728 = 1456 \).

Ответ: 1456.

2) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если дано \( c_1 = 5\sqrt{5} \), \( c_5 = 125\sqrt{5} \), и \( q > 0 \).

Сначала определим знаменатель прогрессии \( q \). По формуле геометрической прогрессии \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \), для пятого члена имеем \( c_5 = c_1 \cdot q^4 \). Подставим значения: \( 125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4 \). Сократим обе части на \( 5\sqrt{5} \): \( \frac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = q^4 \), то есть \( q^4 = 25 \). Так как \( q > 0 \), извлечем корень четвертой степени: \( q = 25^{1/4} = (5^2)^{1/4} = 5^{1/2} = \sqrt{5} \). Таким образом, \( q = \sqrt{5} \).

Теперь вычислим сумму шести первых членов по формуле \( s_n = \frac{c_1 (q^n — 1)}{q — 1} \). Для \( n = 6 \): \( s_6 = \frac{5\sqrt{5} \cdot ((\sqrt{5})^6 — 1)}{\sqrt{5} — 1} \). Сначала вычислим \( (\sqrt{5})^6 \). Так как \( \sqrt{5} = 5^{1/2} \), то \( (5^{1/2})^6 = 5^{6/2} = 5^3 = 125 \). Тогда числитель: \( 5\sqrt{5} \cdot (125 — 1) = 5\sqrt{5} \cdot 124 \). Знаменатель: \( \sqrt{5} — 1 \). Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{5} + 1 \): числитель становится \( 5\sqrt{5} \cdot 124 \cdot (\sqrt{5} + 1) = 5 \cdot 124 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1) = 5 \cdot 124 \cdot (5 + \sqrt{5}) \), а знаменатель \( (\sqrt{5} — 1)(\sqrt{5} + 1) = 5 — 1 = 4 \). Итак, \( s_6 = \frac{5 \cdot 124 \cdot (5 + \sqrt{5})}{4} = 5 \cdot 31 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 155(5 + \sqrt{5}) \).

Ответ: \( 155(5 + \sqrt{5}) \).