ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумму \(n\) первых членов некоторой геометрической прогрессии можно вычислить по формуле \(S_n = 6\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n — 1\right)\). Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\( S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1 \right) \);

1) Сумма членов прогрессии:
\( S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 — 1 \right) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) — 6 = -\frac{3}{4} — 6 = -\frac{27}{4} \);
\( S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 — 1 \right) = 6 \cdot \frac{1}{16} — 6 = \frac{3}{8} — 6 = -\frac{45}{8} \);

2) Четвертый член прогрессии:
\( b_4 = S_4 — S_3 = -\frac{45}{8} + \frac{27}{4} = \frac{9}{8} \);

Ответ:
\(\frac{9}{8}\).

Дана геометрическая прогрессия с суммой первых \(n\) членов, заданной формулой \( S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1 \right) \). Эта формула выражает сумму первых \(n\) членов прогрессии через степень общего знаменателя прогрессии \(-\frac{1}{2}\). Чтобы понять, как получить сумму конкретного количества членов, подставим значения \(n = 3\) и \(n = 4\) и вычислим суммы \(S_3\) и \(S_4\).

Для вычисления суммы первых трёх членов прогрессии подставим \(n = 3\) в формулу:
\( S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 — 1 \right) \). Поскольку \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\), получаем:
\( S_3 = 6 \left( -\frac{1}{8} — 1 \right) = 6 \left( -\frac{1}{8} — \frac{8}{8} \right) = 6 \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = -\frac{54}{8} = -\frac{27}{4} \). Таким образом, сумма первых трёх членов равна \(-\frac{27}{4}\).

Аналогично, для суммы первых четырёх членов подставим \(n = 4\):
\( S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 — 1 \right) \). Поскольку \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\), получаем:
\( S_4 = 6 \left( \frac{1}{16} — 1 \right) = 6 \left( \frac{1}{16} — \frac{16}{16} \right) = 6 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right) = -\frac{90}{16} = -\frac{45}{8} \). Сумма первых четырёх членов равна \(-\frac{45}{8}\).

Чтобы найти конкретный член прогрессии, в данном случае четвёртый член \(b_4\), необходимо вычесть сумму первых трёх членов из суммы первых четырёх:
\( b_4 = S_4 — S_3 \). Подставим значения:
\( b_4 = -\frac{45}{8} — \left(-\frac{27}{4}\right) = -\frac{45}{8} + \frac{27}{4} \). Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{27}{4} = \frac{54}{8} \), тогда
\( b_4 = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{9}{8} \). Таким образом, четвёртый член прогрессии равен \(\frac{9}{8}\).