ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумму \(n\) первых членов некоторой геометрической прогрессии можно вычислить по формуле \(S_n = 6\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n — 1\right)\). Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\( S_p = 6(-3)^{n-1} \):
1) Сумма членов прогрессии:
\( S_3 = 6(-3)^{3-1} = 6 \cdot (-3)^2 = 6 \cdot 9 = 54 \);
\( S_p = 6(-3)^{p-1} = 6 \cdot (-3)^{4-1} = 6 \cdot (-3)^3 = 6 \cdot (-27) = -162 \);
2) Четвертый член прогрессии:
\( b_4 = S_4 — S_3 = -162 — 54 = -216 \).
Ответ: \(-216\).

1) Сумма членов прогрессии:
Для нахождения суммы первых членов геометрической прогрессии используем формулу \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, а \( n \) — количество членов. В данном случае из условия видно, что прогрессия задается как \( S_p = 6(-3)^{p-1} \). Это не совсем стандартная запись суммы, но мы можем интерпретировать ее как сумму первых \( p \) членов. Давайте вычислим для \( p = 3 \). Подставим значение: \( S_3 = 6(-3)^{3-1} = 6(-3)^2 = 6 \cdot 9 = 54 \). Таким образом, сумма первых трех членов равна 54.

Теперь вычислим сумму для \( p = 4 \). Подставим значение: \( S_4 = 6(-3)^{4-1} = 6(-3)^3 = 6 \cdot (-27) = -162 \). Сумма первых четырех членов равна -162.

2) Четвертый член прогрессии:
Чтобы найти четвертый член прогрессии \( b_4 \), мы можем воспользоваться тем, что сумма первых четырех членов равна сумме первых трех членов плюс четвертый член: \( S_4 = S_3 + b_4 \). Подставим известные значения: \( -162 = 54 + b_4 \). Выразим \( b_4 \): \( b_4 = -162 — 54 = -216 \). Таким образом, четвертый член прогрессии равен -216.

Ответ: \(-216\).