ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен \(\frac{2}{3}\), а знаменатель равен 3.

1) Последовательность квадратов:
\( C_1 = (b_1)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \);
\( (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = q^{2n-2} \);
\( q_c = (q^{n-1})^2 \cdot q^{2-2} = q^2 \);
\( q_c = (\sqrt{3})^2 = 3 \).

2) Сумма квадратов шести первых членов:
\( S_6 = C_1 \cdot \frac{q_c^6 — 1}{q_c — 1} = 12 \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} = 12 \cdot \frac{729 — 1}{2} = 12 \cdot 364 = 4368 \).
Ответ: 4368.

1) Последовательность квадратов:
Дана геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = 2\sqrt{3} \) и знаменателем \( q = \sqrt{3} \). Нам нужно найти последовательность квадратов членов этой прогрессии. Начнем с вычисления первого члена последовательности квадратов. Квадрат первого члена прогрессии равен \( C_1 = (b_1)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \). Таким образом, первый член последовательности квадратов равен 12.

Теперь определим общий вид для \( n \)-го члена последовательности квадратов. Общий член геометрической прогрессии выражается как \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Тогда квадрат \( n \)-го члена будет \( (b_n)^2 = (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)} = b_1^2 \cdot q^{2n-2} \). Подставим значение \( b_1^2 = 12 \), получим \( C_n = 12 \cdot q^{2n-2} \).

Далее определим знаменатель прогрессии для последовательности квадратов. Поскольку \( C_n = 12 \cdot q^{2n-2} \), то отношение между соседними членами последовательности квадратов равно \( \frac{C_{n+1}}{C_n} = \frac{12 \cdot q^{2(n+1)-2}}{12 \cdot q^{2n-2}} = q^{2n+2-2 — (2n-2)} = q^{2n+0 — 2n + 2} = q^2 \). Таким образом, знаменатель последовательности квадратов равен \( q_c = q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \). Это означает, что последовательность квадратов также является геометрической прогрессией с первым членом \( C_1 = 12 \) и знаменателем \( q_c = 3 \).

2) Сумма квадратов шести первых членов:
Теперь найдем сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии. Мы уже определили, что последовательность квадратов является геометрической прогрессией с первым членом \( C_1 = 12 \) и знаменателем \( q_c = 3 \). Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии имеет вид \( S_n = C_1 \cdot \frac{q_c^n — 1}{q_c — 1} \). Для \( n = 6 \) подставим значения: \( S_6 = 12 \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} \).

Сначала вычислим \( 3^6 \): \( 3^1 = 3 \), \( 3^2 = 9 \), \( 3^3 = 27 \), \( 3^4 = 81 \), \( 3^5 = 243 \), \( 3^6 = 729 \). Тогда числитель равен \( 3^6 — 1 = 729 — 1 = 728 \), а знаменатель \( 3 — 1 = 2 \). Получаем \( S_6 = 12 \cdot \frac{728}{2} = 12 \cdot 364 \).

Теперь умножим: \( 12 \cdot 364 = 12 \cdot (300 + 60 + 4) = 12 \cdot 300 + 12 \cdot 60 + 12 \cdot 4 = 3600 + 720 + 48 = 4368 \). Таким образом, сумма квадратов первых шести членов равна \( S_6 = 4368 \).

Ответ: 4368.