ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму кубов четырёх первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 3\) и \(b_2 = -6\).

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_1 = 3 \), \( b_2 = -6 \);
1) Разность прогрессии:
\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2 \);
2) Последовательность кубов:
\( c_1 = (b_1)^3 = 3^3 = 27 \);
\( q_c = (-2)^3 = -8 \);
3) Сумма кубов четырех первых членов:
\( S_4 = c_1 \cdot \frac{q_c^4 — 1}{q_c — 1} = 27 \cdot \frac{(-8)^4 — 1}{-8 — 1} = 27 \cdot \frac{4096 — 1}{-9} = 27 \cdot \frac{4095}{-9} = 27 \cdot (-455)=\)
\( = -12285 \);
Ответ: -12285.

1) Разность прогрессии:
Для геометрической прогрессии дана формула для нахождения знаменателя прогрессии \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \). В данном случае у нас есть первые два члена прогрессии: \( b_1 = 3 \) и \( b_2 = -6 \). Подставим эти значения в формулу: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2 \). Таким образом, знаменатель прогрессии равен \( q = -2 \), что означает, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на \( -2 \).

2) Последовательность кубов:
Теперь рассмотрим последовательность кубов членов геометрической прогрессии. Первый член последовательности кубов определяется как \( c_1 = (b_1)^3 \). Подставим значение \( b_1 = 3 \): \( c_1 = 3^3 = 27 \). Далее, поскольку знаменатель прогрессии \( q = -2 \), то для последовательности кубов знаменатель будет равен \( q_c = (q)^3 = (-2)^3 = -8 \). Это означает, что каждый следующий член последовательности кубов получается умножением предыдущего на \( -8 \).

3) Сумма кубов четырех первых членов:
Для нахождения суммы первых четырех членов последовательности кубов используем формулу суммы геометрической прогрессии: \( S_n = c_1 \cdot \frac{q_c^n — 1}{q_c — 1} \), где \( n = 4 \), \( c_1 = 27 \), \( q_c = -8 \). Подставим значения в формулу: \( S_4 = 27 \cdot \frac{(-8)^4 — 1}{-8 — 1} \). Сначала вычислим \( (-8)^4 = 4096 \), затем \( 4096 — 1 = 4095 \), а в знаменателе \( -8 — 1 = -9 \). Получаем: \( S_4 = 27 \cdot \frac{4095}{-9} \). Деление дает \( \frac{4095}{-9} = -455 \), поэтому \( S_4 = 27 \cdot (-455) = -12285 \). Таким образом, сумма кубов первых четырех членов равна \( -12285 \).

Ответ: \( -12285 \).