ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия содержит \(2n\) членов. Сумма членов, имеющих чётные номера, равна \(A\), а сумма членов, имеющих нечётные номера, равна \(B\). Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия:
\( b_1; b_2; b_3; b_4; \dots; b_{2n}; S_{\text{чет}} = A, S_{\text{неч}} = B \);
Из первого равенства:
\( S_{\text{чет}} = b_2 + b_4 + b_6 + b_8 + \dots + b_{2n} \)
\( S_{\text{чет}} = b_1 q + b_1 q^3 + b_1 q^5 + b_1 q^7 + \dots + b_1 q^{2n-1} \);
\( S_{\text{чет}} = q (b_1 + b_1 q^2 + b_1 q^4 + b_1 q^6 + \dots + b_1 q^{2n-2}) \);
\( S_{\text{чет}} = q (b_1 + b_3 + b_5 + b_7 + \dots + b_{2n-1}) \);
\( S_{\text{чет}} = q S_{\text{неч}} \);
\( A = q B \).

Пусть дана геометрическая прогрессия: \( b_1; b_2; b_3; b_4; \dots; b_{2n} \), где сумма четных членов \( S_{\text{чет}} = A \), а сумма нечетных членов \( S_{\text{неч}} = B \). Нам нужно установить связь между \( A \) и \( B \), используя свойства геометрической прогрессии.

Рассмотрим сначала сумму четных членов \( S_{\text{чет}} \). Четные члены прогрессии — это \( b_2, b_4, b_6, \dots, b_{2n} \). Поскольку это геометрическая прогрессия, каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \). Таким образом, \( b_2 = b_1 q \), \( b_4 = b_2 q = b_1 q^3 \), \( b_6 = b_4 q = b_1 q^5 \), и так далее до \( b_{2n} = b_1 q^{2n-1} \).

Запишем сумму четных членов: \( S_{\text{чет}} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2n} = b_1 q + b_1 q^3 + b_1 q^5 + \dots + b_1 q^{2n-1} \). Здесь видно, что каждый член суммы — это \( b_1 q \) умноженное на возрастающую нечетную степень \( q \). Выделим общий множитель \( q \): \( S_{\text{чет}} = q (b_1 + b_1 q^2 + b_1 q^4 + \dots + b_1 q^{2n-2}) \).

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: \( b_1 + b_1 q^2 + b_1 q^4 + \dots + b_1 q^{2n-2} \). Это сумма членов прогрессии с нечетными номерами, начиная с \( b_1 \), то есть \( b_1, b_3, b_5, \dots, b_{2n-1} \), поскольку \( b_3 = b_1 q^2 \), \( b_5 = b_1 q^4 \), и так далее. Таким образом, выражение в скобках — это сумма нечетных членов \( S_{\text{неч}} \).

Подставим это обратно в выражение для суммы четных членов: \( S_{\text{чет}} = q S_{\text{неч}} \). Учитывая, что \( S_{\text{чет}} = A \) и \( S_{\text{неч}} = B \), получаем соотношение \( A = q B \).

Итак, связь между суммами четных и нечетных членов геометрической прогрессии выражена как \( A = q B \), где \( q \) — знаменатель прогрессии. Это и есть искомый результат, который полностью соответствует условию задачи.