ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(\left(2 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(4 + \frac{1}{4}\right)^2 + … + \left(2^n + \frac{1}{2^n}\right)^2\).

Найти сумму ряда:
\( s = (2 + 2) + \left( \frac{1}{2} + 2 \right) + \cdots + \left( 2^n + 2 \right) \);
\( s = (4 + 2 + 4) + (16 + 2 + 16) + \cdots + (2^{2n} + 2 + 2^{2n}) \);
\( s = (2 + 2 + \cdots + 2) + (4 + 16 + \cdots + 2^{2n}) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n} \right) \);
\( s = 2n + \frac{4(4^n — 1)}{4 — 1} + \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^n — 1}{\frac{1}{2} — 1} = 2n + \frac{4(4^n — 1)}{3} + \frac{\frac{1}{2^n} — 1}{-\frac{1}{2}} \);
\( s = 2n + \frac{4(4^n — 1)}{3} + \frac{1 — \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2n + \frac{4(4^n — 1)}{3} + 2 \left( 1 — \frac{1}{2^n} \right) \);
\( s = 2n + \frac{4^{n+1} — 4}{3} + 2 — \frac{2}{2^n} = 2n + \frac{4^{n+1} — 4}{3} + 2 — 2^{1-n} \);
\( s = 2n + \frac{4^{n+1} — 4 + 6 — 3 \cdot 2^{1-n}}{3} = 2n + \frac{4^{n+1} + 2 — 3 \cdot 2^{1-n}}{3} \);
\( s = 2n + \frac{(4^n — 1)(4^{n+1} + 1) + 2(4^n — 1)}{3 \cdot 4^n} \).

Ответ: \( 2n + \frac{(4^n — 1)(4^{n+1} + 1)}{3 \cdot 4^n} \).

Найти сумму ряда:

1. Рассмотрим заданный ряд, который представлен в виде суммы последовательных слагаемых. Первое выражение для суммы выглядит как \( s = (2 + 2) + \left( \frac{1}{2} + 2 \right) + \cdots + \left( 2^n + 2 \right) \). Здесь каждое слагаемое состоит из двух частей, которые зависят от индекса \( n \), и наша цель — найти общую сумму этого ряда.

2. Далее ряд представлен в другом виде: \( s = (4 + 2 + 4) + (16 + 2 + 16) + \cdots + (2^{2n} + 2 + 2^{2n}) \). Это показывает, что слагаемые можно перегруппировать, выделяя повторяющиеся элементы, которые являются степенями двойки, а также постоянный член 2 в каждом слагаемом.

3. Теперь разделим сумму на три отдельных ряда для упрощения вычислений: \( s = (2 + 2 + \cdots + 2) + (4 + 16 + \cdots + 2^{2n}) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n} \right) \). Здесь первый ряд состоит из \( n \) слагаемых, равных 2, второй ряд — это геометрическая прогрессия со степенями 2, начиная с \( 2^2 \), а третий ряд — это геометрическая прогрессия с первым членом \( \frac{1}{2} \).

4. Вычислим сумму первого ряда: поскольку в нем \( n \) слагаемых, каждое из которых равно 2, то сумма будет \( 2 \cdot n = 2n \). Это простое арифметическое вычисление.

5. Для второго ряда, который является геометрической прогрессией \( 4 + 16 + \cdots + 2^{2n} \), первый член равен \( 4 = 2^2 \), а каждый следующий член получается умножением на \( 4 = 2^2 \). Общий член ряда можно записать как \( 2^{2k} \) для \( k = 1, 2, \dots, n \). Сумма геометрической прогрессии с первым членом \( a = 4 \), отношением \( r = 4 \) и числом членов \( n \) равна \( \frac{a(r^n — 1)}{r — 1} \), то есть \( \frac{4(4^n — 1)}{4 — 1} = \frac{4(4^n — 1)}{3} \).

6. Для третьего ряда, который также является геометрической прогрессией \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n} \), первый член равен \( \frac{1}{2} \), а отношение равно \( \frac{1}{2} \). Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле \( \frac{a(1 — r^n)}{1 — r} \), но поскольку \( r = \frac{1}{2} < 1 \), удобнее записать как \( \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \). Подставляя, получаем \( \frac{\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^n - 1 \right)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^n} - 1 \right)}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2^n} - 1}{-1} \cdot 2 = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) \). 7. Объединяя все суммы, получаем выражение для \( s \): \( s = 2n + \frac{4(4^n - 1)}{3} + 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) \). Раскроем последнее слагаемое: \( 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2^n} = 2 - 2^{1 - n} \). 8. Теперь преобразуем выражение для \( s \): \( s = 2n + \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2 - 2^{1 - n} \). Чтобы объединить слагаемые, приведем их к общему знаменателю 3: \( 2 = \frac{6}{3} \), \( 2n = \frac{6n}{3} \), а \( 2^{1 - n} = \frac{2^{1 - n} \cdot 3}{3} = \frac{3 \cdot 2^{1 - n}}{3} \). Однако удобнее объединить числовые члены отдельно. 9. Продолжим преобразование: \( s = 2n + \frac{4^{n+1} - 4 + 6 - 3 \cdot 2^{1 - n}}{3} = 2n + \frac{4^{n+1} + 2 - 3 \cdot 2^{1 - n}}{3} \). Это промежуточное выражение, которое требует дальнейшего упрощения. 10. Наконец, преобразуем выражение в итоговую форму: \( s = 2n + \frac{(4^n - 1)(4^{n+1} + 1) + 2(4^n - 1)}{3 \cdot 4^n} \). Это можно записать более компактно, но в данном случае ответ оставлен в виде, соответствующем исходному примеру. Ответ: \( 2n + \frac{(4^n - 1)(4^{n+1} + 1)}{3 \cdot 4^n} \).