ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой \(q = 3\), последний член \(a_n = 162\), а сумма всех членов \(S_n = 242\).

Дана геометрическая прогрессия:
\( q = 3 \), \( c_n = 162 \), \( S_n = 242 \);

1) Первый член прогрессии:
\( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \); \( 162 = c_1 \cdot 3^{n-1} \);
\( c_1 = \frac{162}{3^{n-1}} = \frac{486}{3^n} \);

2) Количество членов прогрессии:
\( S_n = c_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \);
\( 242 = 486 \cdot \frac{3^n — 1}{3^n \cdot (3 — 1)} \);
\( 242 = \frac{486 \cdot (3^n — 1)}{3^n \cdot 2} \);
\( 121 \cdot 3^n = 243 \cdot (3^n — 1) \);
\( 121 \cdot 2 \cdot 3^n = 243 \cdot (3^n — 1) \);
\( 242 \cdot 3^n = 243 \cdot 3^n — 243 \);
\( 3^n = 243 \);
\( 3^n = 3^5 \);
\( n = 5 \);

Ответ: 5.

1) Первый член прогрессии:
Для геометрической прогрессии используется формула \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \), где \( c_n \) — это заданный член прогрессии, \( c_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии, а \( n \) — номер члена. В нашем случае \( c_n = 162 \), а \( q = 3 \). Подставим значения в формулу: \( 162 = c_1 \cdot 3^{n-1} \). Чтобы найти \( c_1 \), выразим его через остальные величины: \( c_1 = \frac{162}{3^{n-1}} \). Заметим, что числитель можно представить как \( 162 = 486 \cdot \frac{1}{3} \), но на данном этапе точное значение \( c_1 \) зависит от \( n \), которое еще предстоит определить. Поэтому оставим выражение в виде \( c_1 = \frac{162}{3^{n-1}} = \frac{486}{3^n} \), чтобы использовать его в следующем пункте.

2) Количество членов прогрессии:
Для нахождения количества членов прогрессии \( n \) воспользуемся формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = c_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). В условии дано, что \( S_n = 242 \), а \( q = 3 \). Подставим выражение для \( c_1 \) из предыдущего пункта и значения \( q \): \( 242 = \frac{486}{3^n} \cdot \frac{3^n — 1}{3 — 1} \). Упростим выражение, учитывая \( 3 — 1 = 2 \): \( 242 = \frac{486}{3^n} \cdot \frac{3^n — 1}{2} \). Умножим числитель и знаменатель, чтобы избавиться от дроби: \( 242 = \frac{486 \cdot (3^n — 1)}{2 \cdot 3^n} \). Умножим обе части уравнения на \( 2 \cdot 3^n \): \( 242 \cdot 2 \cdot 3^n = 486 \cdot (3^n — 1) \), что равно \( 484 \cdot 3^n = 486 \cdot 3^n — 486 \). Однако, чтобы избежать ошибок, вернемся к более раннему шагу и умножим обе части уравнения \( 242 = \frac{486 \cdot (3^n — 1)}{2 \cdot 3^n} \) на \( 2 \cdot 3^n \): получаем \( 242 \cdot 2 \cdot 3^n = 486 \cdot (3^n — 1) \), то есть \( 484 \cdot 3^n = 486 \cdot 3^n — 486 \). Перенесем все слагаемые в одну сторону: \( 484 \cdot 3^n — 486 \cdot 3^n = -486 \), что дает \( -2 \cdot 3^n = -486 \), или \( 2 \cdot 3^n = 486 \). Разделим обе части на 2: \( 3^n = 243 \). Теперь выразим 243 как степень числа 3: \( 243 = 3^5 \), следовательно, \( 3^n = 3^5 \), откуда \( n = 5 \).

Ответ: 5.