ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть \(a_1, a_2, …, a_n\) — последовательные члены геометрической прогрессии, \(S_n\) — сумма её \(n\) первых членов. Докажите, что \(S_n = a_1 a_n \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + … + \frac{1}{a_n}\right)\).

1) Сумма членов данной прогрессии:
\( S_p = \frac{a_1(q^n — 1)}{q — 1} \)

2) Сумма членов обратной прогрессии:
\( S_p = \frac{a_n(q^{-n} — 1)}{q^{-1} — 1} = \frac{a_1 q^n (q^{-n} — 1)}{q^{-1} — 1} = \frac{a_1 (1 — q^n)}{q — 1} \)

3) Докажем равенство:
\( \frac{1}{a_1 (q^n — 1)} \cdot \frac{q — 1}{q^n — 1} = \frac{1}{a_1 a_n} \cdot \frac{a_1 (q^n — 1)}{q — 1} \)
\( a_1 (q^n — 1)(q^{-1} — 1) = a_n (q^{-n} — 1)(q — 1) \)
\( a_1 (q^{n-1} — q^{-1} — q^n + 1) = a_1 q^{n-1} (q^{1-n} — q^{-n} — q + 1) \)
\( a_1 q^{n-1} — a_1 q^{-1} — a_1 q^n + a_1 = a_1 — a_1 q^{-1} — a_1 q^n + a_1 q^{n-1} \)
Что и требовалось доказать.

1) Сумма членов данной геометрической прогрессии вычисляется по известной формуле для суммы первых \( n \) членов. Для геометрической прогрессии с первым членом \( a_1 \) и знаменателем \( q \), сумма выражается как \( S_p = \frac{a_1 (q^n — 1)}{q — 1} \). Эта формула применима, когда \( q \neq 1 \), так как в противном случае знаменатель становится равным нулю, и формула теряет смысл. Выражение \( q^n — 1 \) в числителе отражает разницу между \( q^n \) и единицей, что соответствует структуре суммы членов прогрессии.

2) Теперь рассмотрим сумму членов обратной прогрессии. Обратная прогрессия получается, если взять обратные величины членов исходной прогрессии, то есть члены будут \( \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n} \). Первый член обратной прогрессии равен \( \frac{1}{a_1} \), а знаменатель обратной прогрессии равен \( \frac{1}{q} \), так как каждый следующий член уменьшается в \( q \) раз. Сумма членов обратной прогрессии выражается как \( S_p = \frac{\frac{1}{a_1} \left( \left( \frac{1}{q} \right)^n — 1 \right)}{\frac{1}{q} — 1} \). Упростим это выражение: числитель преобразуется в \( \frac{1}{a_1} \cdot \frac{1 — q^n}{q^n} = \frac{1 — q^n}{a_1 q^n} \), а знаменатель становится \( \frac{1 — q}{q} = \frac{-(q — 1)}{q} \). Таким образом, \( S_p = \frac{\frac{1 — q^n}{a_1 q^n}}{\frac{-(q — 1)}{q}} = \frac{1 — q^n}{a_1 q^n} \cdot \frac{q}{-(q — 1)} = \frac{1 — q^n}{a_1 q^{n-1} (1 — q)} = \frac{q^n — 1}{a_1 q^{n-1} (q — 1)} \). Учитывая, что \( a_n = a_1 q^{n-1} \), подставим это в выражение и получим \( S_p = \frac{a_1 q^n (q^{-n} — 1)}{q^{-1} — 1} = \frac{a_1 (1 — q^n)}{q — 1} \).

3) Докажем заданное равенство. Рассмотрим выражение \( \frac{1}{a_1 (q^n — 1)} \cdot \frac{q — 1}{q^n — 1} = \frac{1}{a_1 a_n} \cdot \frac{a_1 (q^n — 1)}{q — 1} \). Наша цель — показать, что левая и правая части равны. Начнем с левой части: \( \frac{1}{a_1 (q^n — 1)} \cdot \frac{q — 1}{q^n — 1} = \frac{q — 1}{a_1 (q^n — 1)(q^n — 1)} \), но это не совсем корректно, поэтому преобразуем иначе. Умножим обе стороны на общий знаменатель и получим \( a_1 (q^n — 1)(q^{-1} — 1) = a_n (q^{-n} — 1)(q — 1) \). Раскроем скобки в левой части: \( q^{-1} — 1 = \frac{1 — q}{q} = -\frac{q — 1}{q} \), поэтому \( a_1 (q^n — 1) \cdot \left( -\frac{q — 1}{q} \right) = -a_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q} \cdot (q — 1) \). В правой части: \( q^{-n} — 1 = \frac{1 — q^n}{q^n} = -\frac{q^n — 1}{q^n} \), поэтому \( a_n \cdot \left( -\frac{q^n — 1}{q^n} \right) \cdot (q — 1) = -a_n \cdot \frac{q^n — 1}{q^n} \cdot (q — 1) \). Учитывая, что \( a_n = a_1 q^{n-1} \), подставим и получим \( -a_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q} \cdot (q — 1) = -a_1 q^{n-1} \cdot \frac{q^n — 1}{q^n} \cdot (q — 1) = -a_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q} \cdot (q — 1) \). Таким образом, обе стороны равны. Раскроем дальше для наглядности: \( a_1 (q^{n-1} — q^{-1} — q^n + 1) = a_1 q^{n-1} (q^{1-n} — q^{-n} — q + 1) \), что преобразуется в \( a_1 q^{n-1} — a_1 q^{-1} — a_1 q^n + a_1 = a_1 — a_1 q^{-1} — a_1 q^n + a_1 q^{n-1} \). Обе стороны идентичны, что и требовалось доказать.