ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии \((x_n)\), если \(x_3 = 24\), \(x_8 = 768\).

1) Первый член и знаменатель:
\( x_3 = x_1 \cdot q^2 \), \( x_8 = x_1 \cdot q^7 \);
\( \frac{768}{24} = 32 \); \( q^5 = 32 \); \( q = 2 \);
\( x_1 = \frac{24}{q^2} = \frac{24}{4} = 6 \).

2) Сумма семи первых членов:
\( S_7 = x_1 \cdot \frac{q^7 — 1}{q — 1} = 6 \cdot \frac{2^7 — 1}{2 — 1} = 6 \cdot \frac{128 — 1}{1} = 6 \cdot 127 = 762 \).
Ответ: 762.

1) Первый член и знаменатель:
Дана геометрическая прогрессия, где \( x_3 = 24 \) и \( x_8 = 768 \). Нам нужно найти первый член прогрессии \( x_1 \) и знаменатель \( q \). Для геометрической прогрессии справедливы формулы: \( x_3 = x_1 \cdot q^{2} \) и \( x_8 = x_1 \cdot q^{7} \), так как номер члена определяет степень знаменателя.

Сначала найдем отношение \( x_8 \) к \( x_3 \), чтобы определить степень \( q \). Имеем: \( \frac{x_8}{x_3} = \frac{x_1 \cdot q^{7}}{x_1 \cdot q^{2}} = q^{7-2} = q^{5} \). Подставляя значения, получаем: \( \frac{768}{24} = 32 \), следовательно, \( q^{5} = 32 \). Чтобы найти \( q \), извлекаем корень пятой степени из 32. Заметим, что \( 2^{5} = 32 \), значит, \( q = 2 \).

Теперь, зная \( q = 2 \), можем найти \( x_1 \) из уравнения для \( x_3 \): \( x_3 = x_1 \cdot q^{2} \), то есть \( 24 = x_1 \cdot 2^{2} = x_1 \cdot 4 \). Отсюда \( x_1 = \frac{24}{4} = 6 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 6, а знаменатель равен 2.

2) Сумма семи первых членов:
Теперь найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии по формуле: \( S_n = x_1 \cdot \frac{q^{n} — 1}{q — 1} \), где \( n = 7 \). Подставляем известные значения: \( x_1 = 6 \), \( q = 2 \), \( n = 7 \). Получаем: \( S_7 = 6 \cdot \frac{2^{7} — 1}{2 — 1} \).

Сначала вычислим \( 2^{7} = 128 \), затем \( 128 — 1 = 127 \), а знаменатель \( 2 — 1 = 1 \). Таким образом, \( S_7 = 6 \cdot \frac{127}{1} = 6 \cdot 127 \). Умножаем: \( 6 \cdot 127 = 762 \).

Ответ: 762.