ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = 10 \cdot 3^{n-1}\). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

1) Первый член и знаменатель:
\( b_n = 10 \cdot 3^{n-1} \);
\( b_1 = 10 \cdot 3^{1-1} = 10 \cdot 3^0 = 10 \);
\( q = 3 \).

2) Сумма пяти первых членов:
\( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 10 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 10 \cdot \frac{243 — 1}{2} = 10 \cdot \frac{242}{2} = 10 \cdot 121 = 1210 \).
Ответ: 1210.

1) Первый член и знаменатель:
Дана геометрическая прогрессия, заданная формулой общего члена \( b_n = 10 \cdot 3^{n-1} \). Нам нужно определить первый член прогрессии и ее знаменатель. Начнем с первого члена. Первый член прогрессии соответствует \( n = 1 \), подставим это значение в формулу: \( b_1 = 10 \cdot 3^{1-1} = 10 \cdot 3^0 = 10 \cdot 1 = 10 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 10.

Теперь определим знаменатель прогрессии \( q \). Знаменатель — это число, на которое умножается каждый предыдущий член, чтобы получить следующий. Поскольку общий член задан как \( b_n = 10 \cdot 3^{n-1} \), видно, что основание степени равно 3, и при увеличении \( n \) на 1 член прогрессии умножается на 3. Следовательно, знаменатель \( q = 3 \).

Итак, первый член \( b_1 = 10 \), а знаменатель \( q = 3 \).

2) Сумма пяти первых членов:
Теперь найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Для этого используем формулу суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \), где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель, а \( n \) — количество членов. В нашем случае \( n = 5 \), \( b_1 = 10 \), \( q = 3 \). Подставим эти значения в формулу: \( S_5 = 10 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} \).

Сначала вычислим \( 3^5 \): \( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \). Теперь подставим это значение: \( S_5 = 10 \cdot \frac{243 — 1}{3 — 1} = 10 \cdot \frac{242}{2} \). Выполним деление в знаменателе: \( \frac{242}{2} = 121 \). Тогда \( S_5 = 10 \cdot 121 = 1210 \).

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна 1210.

Ответ: 1210.