ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия \((y_n)\) задана формулой n-го члена \(y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}\). Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\( b_n = 20 \cdot (-2)^{n+1} \)

1) Первый член и знаменатель:
\( b_1 = 20 \cdot (-2)^{1+1} = 20 \cdot (-2)^2 = 20 \cdot 4 = 80 \);
\( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{20 \cdot (-2)^{n+2}}{20 \cdot (-2)^{n+1}} = \frac{(-2)^{n+2}}{(-2)^{n+1}} = -2 \).

2) Сумма десяти первых членов:
\( S_{10} = b_1 \cdot \frac{q^{10} — 1}{q — 1} = 80 \cdot \frac{(-2)^{10} — 1}{-2 — 1} = 80 \cdot \frac{1024 — 1}{-3} = 80 \cdot \frac{1023}{-3} = 80 \cdot (-341) =\)
\(= -27280 \).

Ответ: -27280.

1) Первый член и знаменатель:

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии подставим \( n = 1 \) в заданную формулу \( b_n = 20 \cdot (-2)^{n+1} \). Получаем \( b_1 = 20 \cdot (-2)^{1+1} = 20 \cdot (-2)^2 = 20 \cdot 4 = 80 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 80.

Теперь определим знаменатель прогрессии \( q \), который является отношением последующего члена к предыдущему. Используем формулу \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \). Подставим выражения: \( b_{n+1} = 20 \cdot (-2)^{n+2} \) и \( b_n = 20 \cdot (-2)^{n+1} \). Тогда \( q = \frac{20 \cdot (-2)^{n+2}}{20 \cdot (-2)^{n+1}} = \frac{(-2)^{n+2}}{(-2)^{n+1}} = (-2)^{n+2 — (n+1)} = (-2)^1 = -2 \). Знаменатель прогрессии равен -2.

2) Сумма десяти первых членов:

Для вычисления суммы первых десяти членов геометрической прогрессии используем формулу суммы \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \), где \( b_1 = 80 \), \( q = -2 \), а \( n = 10 \). Подставим значения: \( S_{10} = 80 \cdot \frac{(-2)^{10} — 1}{-2 — 1} \).

Сначала вычислим \( (-2)^{10} \). Так как 10 — четное число, \( (-2)^{10} = 2^{10} = 1024 \). Тогда числитель равен \( 1024 — 1 = 1023 \), а знаменатель \( -2 — 1 = -3 \). Получаем \( S_{10} = 80 \cdot \frac{1023}{-3} = 80 \cdot (-341) \).

Теперь умножим: \( 80 \cdot 341 = 27280 \), а с учетом знака \( 80 \cdot (-341) = -27280 \). Таким образом, сумма первых десяти членов прогрессии равна -27280.

Ответ: -27280.