ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия \((y_n)\) задана формулой n-го члена \(y_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}\). Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\(b_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}\);

1) Первый член и знаменатель:
\(q = \frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{\frac{(-2)^{n+1}}{20}}{\frac{(-2)^n}{20}} = \frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n} = -2;\)
\(b_1 = \frac{(-2)^{1+1}}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2;\)

2) Сумма десяти первых членов:
\(S_{10} = b_1 \frac{q^{10} — 1}{q — 1} = 0,2 \frac{(-2)^{10} — 1}{-2 — 1} = 0,2 \frac{1024 — 1}{-3};\)
\(S_{10} = \frac{0,2 \cdot 1023}{-3} = -0,2 \cdot 341 = -68,2;\)

Ответ: \(-68,2.\)

Дана геометрическая прогрессия с формулой общего члена \(b_n = \frac{(-2)^{n+1}}{20}\). Чтобы понять её свойства, сначала нужно найти первый член прогрессии и знаменатель прогрессии, которые определяют её поведение. Первый член — это значение при \(n=1\), а знаменатель — это отношение любого члена к предыдущему.

Для нахождения знаменателя \(q\) возьмём отношение \(b_n\) к \(b_{n-1}\). Подставим формулы:
\(q = \frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{\frac{(-2)^{n+1}}{20}}{\frac{(-2)^n}{20}} = \frac{(-2)^{n+1}}{20} \cdot \frac{20}{(-2)^n} = \frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n} = (-2)^{(n+1)-n} = (-2)^1 = -2\).
Таким образом, знаменатель прогрессии равен \(-2\). Это значит, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на \(-2\), то есть прогрессия меняет знак и увеличивается по абсолютной величине вдвое.

Теперь найдём первый член прогрессии \(b_1\), подставив \(n=1\) в формулу:
\(b_1 = \frac{(-2)^{1+1}}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2\).
Первый член положителен и равен 0,2. С учётом знамениателя \(-2\), следующий член будет \(b_2 = b_1 \cdot q = 0,2 \cdot (-2) = -0,4\), и так далее, чередуя знаки и увеличиваясь по модулю.

Для вычисления суммы первых десяти членов \(S_{10}\) используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\(S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим наши значения:
\(S_{10} = 0,2 \cdot \frac{(-2)^{10} — 1}{-2 — 1} = 0,2 \cdot \frac{1024 — 1}{-3} = 0,2 \cdot \frac{1023}{-3}\).
Вычислим числитель и знаменатель: \(1023 / -3 = -341\), значит
\(S_{10} = 0,2 \cdot (-341) = -68,2\).

Это значение показывает, что сумма первых десяти членов отрицательна и равна \(-68,2\). Знак отрицательный обусловлен тем, что знаменатель отрицателен, и члены прогрессии меняют знак, что влияет на итоговую сумму. Такой результат характерен для прогрессий с отрицательным знаменателем, где сумма может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от количества членов.