ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{2}{3}\), а сумма четырёх первых членов равна 65. Найдите первый член прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия:
\( q = 3 \), \( S_4 = 65 \);
Первый член прогрессии:
\( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \);
\( S_4 \cdot (q — 1) = b_1 \cdot (q^4 — 1) \);
\( 65 \cdot (3 — 1) = b_1 \cdot (3^4 — 1) \);
\( 65 \cdot 2 = b_1 \cdot (81 — 1) \);
\( 130 = b_1 \cdot 80 \);
\( b_1 = \frac{130}{80} \);
\( b_1 = \frac{13}{8} \);
Ответ: \( \frac{13}{8} \).

Дана геометрическая прогрессия: \( q = 3 \), \( S_4 = 65 \). Необходимо найти первый член прогрессии \( b_1 \).

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Эта формула позволяет выразить сумму через первый член \( b_1 \), знаменатель прогрессии \( q \) и количество членов \( n \).

В данном случае нам известны значения \( S_4 = 65 \), \( q = 3 \), а \( n = 4 \). Подставим эти значения в формулу: \( S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} \), что дает \( 65 = b_1 \cdot \frac{3^4 — 1}{3 — 1} \).

Вычислим выражение в числителе: \( 3^4 = 81 \), следовательно, \( 3^4 — 1 = 81 — 1 = 80 \). В знаменателе: \( 3 — 1 = 2 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( 65 = b_1 \cdot \frac{80}{2} \).

Упростим дробь: \( \frac{80}{2} = 40 \). Теперь уравнение выглядит как \( 65 = b_1 \cdot 40 \).

Чтобы найти \( b_1 \), умножим обе части уравнения на \( (q — 1) \), то есть на 2: \( 65 \cdot 2 = b_1 \cdot (3^4 — 1) \), что дает \( 130 = b_1 \cdot 80 \).

Теперь разделим обе части на 80, чтобы выразить \( b_1 \): \( b_1 = \frac{130}{80} \).

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10: \( \frac{130}{80} = \frac{13}{8} \). Таким образом, \( b_1 = \frac{13}{8} \).

Проверим правильность вычислений. Если \( b_1 = \frac{13}{8} \), \( q = 3 \), то первые четыре члена прогрессии: \( \frac{13}{8} \), \( \frac{13}{8} \cdot 3 = \frac{39}{8} \), \( \frac{39}{8} \cdot 3 = \frac{117}{8} \), \( \frac{117}{8} \cdot 3 = \frac{351}{8} \). Сумма: \( \frac{13}{8} + \frac{39}{8} + \frac{117}{8} + \frac{351}{8} = \frac{13 + 39 + 117 + 351}{8} = \frac{520}{8} = 65 \). Значение суммы совпадает с заданным \( S_4 = 65 \), значит, решение верно.

Ответ: \( \frac{13}{8} \).