ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1 = 12 \), \( S_3 = 516 \);

Знаменатель прогрессии:

\( S_3 = b_1 \frac{q^3 — 1}{q — 1} \)

\( 516 = 12 \frac{q^3 — 1}{q — 1} \)

\( \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 43 \)

\( q^2 + q + 1 = 43 \)

\( q^2 + q — 42 = 0 \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 42 = 1 + 168 = 169 \), тогда:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2} \)

\( q_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)

\( q_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Ответ: \( -7; 6 \)

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1 = 12 \), \( S_3 = 516 \). Необходимо найти знаменатель прогрессии, то есть значение \( q \).

Для геометрической прогрессии сумма первых \( n \) членов определяется формулой \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \), где \( q \neq 1 \). В данном случае нам дана сумма первых трех членов, то есть \( S_3 = 516 \), и первый член \( b_1 = 12 \). Подставим эти значения в формулу: \( 516 = 12 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} \).

Упростим это уравнение. Сначала разделим обе части на 12, чтобы избавиться от множителя: \( \frac{516}{12} = \frac{q^3 — 1}{q — 1} \), что дает нам \( 43 = \frac{q^3 — 1}{q — 1} \).

Теперь преобразуем выражение \( \frac{q^3 — 1}{q — 1} \). Мы знаем, что \( q^3 — 1 = (q — 1)(q^2 + q + 1) \), поэтому \( \frac{q^3 — 1}{q — 1} = q^2 + q + 1 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( q^2 + q + 1 = 43 \).

Перенесем 43 в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду: \( q^2 + q + 1 — 43 = 0 \), то есть \( q^2 + q — 42 = 0 \).

Решаем полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -42 \). Подставляем: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \).

Так как дискриминант положительный (\( D = 169 \)), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \( q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем значения: \( q = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 13}{2} \).

Вычислим оба корня. Первый корень: \( q_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \). Второй корень: \( q_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Таким образом, возможные значения знаменателя прогрессии равны \( -7 \) и \( 6 \). Оба значения являются допустимыми, так как в геометрической прогрессии знаменатель может быть как положительным, так и отрицательным.

Ответ: \( -7; 6 \).